Enunciado

Seja r a razão entre dois máximos consecutivos do deslocamento de um oscilador livre fracamente amortecido ( γ ≪ ω 0 ). O parâmeto δ = ln ⁡ r chama-se decremento logarítmico. (a) Relacione δ com a constante de amortecimento γ e com o período τ do oscilador. (b) Se n é o número de períodos necessário para que a amplitude de oscilação caia à metade do valor inicial, ache δ .

Passo 1

(a) Imagine um oscilador harmônico simples:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Agora queremos que ele seja um oscilador fracamente amortecido. Isso quer dizer que a amplitude de oscilação vai variar com o tempo:

A = A t = A 0 e - γ 2 t

Vamos dizer que existe um máximo de amplitude A 1 no instante t 1 e um máximo consecutivo A 2 no instante t 2 .

A razão entre os dois máximos é:

r = A 2 A 1 = A 0 e - γ 2 t 2 A 0 e - γ 2 t 1 = e - γ 2 t 2 - t 1

Agora, seguindo a fórmula do enunciado, vamos tirar o módulo logaritmo de r :

δ = ln ⁡ r = γ 2 t 2 - t 1

A distância entre os dois máximos é o período τ do oscilador:

δ = γ τ 2

Passo 2

A amplitude de oscilação segue a seguinte função:

A = A t = A 0 e - γ 2 t

Se entre dois instantes t a e t b a amplitude é reduzida à metade, temos que:

A t b A t a = 1 2

A 0 e - γ 2 t b A 0 e - γ 2 t a = 1 2

Vamos tirar o logaritmo do módulo dos dois lados:

γ 2 t b - t a = ln ⁡ 1 2

Podemos escrever o intervalo t b - t a como um número n de períodos , ou seja:

t b - t a = n τ

Então:

γ τ 2   n = ln ⁡ 1 2

O termo em parênteses do lado esquerdo é simplesmente a fórmula para δ :

δ = 1 n ln ⁡ 1 2 ≅ 0,69 n

Resposta

(a) δ = γ τ 2 .

(b) δ = 0,69 n .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o sistema do problema 8/3, determine a posição x como uma função do tempo se a massa é liberada no instante de tempo t = 0 a partir de uma posição 50m m à direita da posição de equilíbrio com uma
Para o sistema do Prob. 8/3, determine a posição x da massa como uma função do tempo se a amssa é liberada a partir do repouso no instante de tempo t = 0 de uma posição 50m m à esquerda da posição de
Quando um colar de 3 kg é colocado sobre o prato da balança que está preso à mola de constante desconhecida, observa-se que a deflexão estática adicional é de 42 mm. Determine a constante da mola k em
Determine a frequência natural do sistema massa-mola, tanto em radianos por segundo quanto em ciclos por segundo (Hz).
O pistão vertical possui uma massa de 2.5 kg e é sustentado pelas duas molas, que estão sempre em compressão. Calcule a frequência natural f n de vibração do pistão se ele é deslocado da posição de eq