Enunciado

A molécula de HCl é uma molécula iônica, que podemos considerar como resultante da interação entre os íons H + e C l - , com energia potencial de interação dada por U r = - K e 2 r + B / r 10 , onde r é a distância entre os centros. O primeiro termo é a atração coulumbiana ( K = 9 × 10 9   N . m 2 / C 2 , e = 1,6 × 10 - 19 C ), e o segundo representa uma interação repulsiva a curta distância ( B > 0 ). A distância entre os centros na molécula é de 1,28   Å ; uma unidade de massa atômica vale 1,66 × 10 - 27   k g . (a) Calcule a “constante de mola efetiva” k da ligação. (b) Calcule a frequência de vibração ν da molécula (clássica).

Passo 1

Vamos lembrar da definição da “constante de mola efetiva” para certo potencial U :

k = d 2 U d r 2 r = r 0

Onde r 0 é o ponto de equilíbrio.

Então, para encontrar k , precisamos derivar a expressão para U r :

U r = - K e 2 r + B r 10

d d r U r = K e 2 r 2 - 10 B r 11

d 2 d r 2 U r = k = - 2 K e 2 r 3 + 110 B r 12

Passo 2

No ponto de equilíbrio, a energia potencial está em um ponto de mínimo, ou seja:

d d r U r = 0

K e 2 r 2 - 10 B r 11 = 0

B = K e 2 10 r 9

Substituindo isso na expressão para k :

k = - 2 K e 2 r 3 + 110 1 r 12 K e 2 10 r 9

k = K e 2 - 2 r 3 + 11 r 3

k = 9 K e 2 r 3

Agora é só substituir os valores numéricos:

k = 9 K e 2 r 3 = 9 9.10 9 1,66.10 - 19 2 1,28.10 - 10 3 ≅ 989   N / m

Passo 3

Para encontrar a frequência angular, podemos usar a fórmula de sempre:

ω = k m

Mas dessa vez vamos usar a técnica para o “problema de dois corpos”. Nesse caso, a massa m se torna a massa reduzida do sistema:

m         →         μ = m 1 m 2 m 1 + m 2

Então:

ω = k   m 1 + m 2 m 1 m 2

Onde as massas do hidrogênio e do cloro são:

m 1 = 1   u . a . = 1   1,66.10 - 27   = 1,66.10 - 27   k g

m 2 = 17   u . a . = 17 1,66.10 - 27   k g = 28,2   .   10 - 27   k g

Então:

ω = 989   1,66 + 28,2 . 10 - 27 1,66 28,2 10 - 27 2

ω = 7,94   .   10 14   r a d / s

Mas o enunciado pediu a frequência de oscilação, e não a frequência angular:

f = ω 2 π = 7,94.10 - 14 2 π = 1,26   .   10 14   H z

Resposta

(a) k = 989   N / m .

(b) f = 1,26   .   10 14   H z

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