Enunciado

Um oscilador harmônico tridimensional isotrópico é definido como uma partícula que se move sob a ação de forças associadas à energia potencial

U x , y , z = 1 2 k ( x 2 + y 2 + z 2 )

Onde k é uma constante positiva. Mostre que a força correspondente é uma força central, e calcule-a. De que tipo é a força?

Passo 1

Para calcular nossa força vamos tomar suas componentes

F ⃑ = (   - d U d x , - d U d y , - d U d z )

= (   - k x , - k y , - k z )

Esse resultado também pode ser escrito da forma

F ⃑ =   - k x   i ^ - k y   j ^ - k z   k ^

= - k r   r ^

( nesse ultimo caso nosso valor k r representa o módulo do nosso vetor e r ^ sua direção)

Nossa força é do tipo central, pois sempre aponta para um ponto central: a origem. Além disso, sua magnitude depende somente da sua distância à esse ponto. Tanto que podemos escrevr F ⃑   como no útlimo caso onde F ⃑ = - k r   r ^ e r é a distância até a origem e r ^ o vetor unitário que aponta para para lá também.

Ainda, nossa força atende a lei de Hooke tridimensionalmente e portanto pode ser chamada de elástica.

Resposta

F ⃑ = ( - k x , - k y , - k z )

É   u m a   f o r ç a   e l á s t i c a .

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