Enunciado

Um oscilador linearmente amortecido possui um fator Q igual a 20 . (a) Qual é a fração de redução da energia, em cada ciclo? (b) Use a equação para determinar a diferença percentual entre ω ' e ω 0 . Dica: Use a aproximação 1 + x 1 / 2 = 1 + 1 2 x para x pequeno.

Passo 1

(a) Vamos chamar de ε a variação percentual de energia a cada ciclo:

ε = Δ E E

E então podemos relacionar isso com o fator Q :

Q = 2 π ε

ε = 2 π Q = 2 π 20 = 0,31

Passo 2

(b) A relação entre ω ' e ω 0 é dada pela seguinte fórmula:

ω ' = ω 0   1 - b 2 m ω 0 2

E vamos usar a aproximação sugerida pelo enunciado:

1 + x 1 / 2 = 1 + 1 2 x

No caso em que x = - b 2 m ω 0 2 , então:

ω ' = ω 0   1 - 1 2 b 2 m ω 0 2

ω ' = ω 0   1 - b 2 8 m 2 ω 0 2

E então:

ω ' ω 0 = 1 - b 2 8 m 2 ω 0 2

Mas Q = ω 0 m / b , então:

ω ' ω 0 = 1 - 1 8 Q 2

Passo 3

Mas o que nós queremos é a diferença percentual α entre ω ' e ω 0 , ou seja:

α = ω ' - ω 0 ω 0 = ω ' ω 0 - 1

α = 1 - 1 8 Q 2 - 1

α = - 1 8 Q 2 = - 1 8 20 2

α = - 3,1   .   10 - 2   %

Resposta

(a) A fração de redução da energia é 0,31 .

(b) A diferença percentual é - 3,1   .   10 - 2   % .

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