Enunciado

142. O cilindro de 4   k g está preso a um amortecedor viscoso e à mola de rigidez k = 800   N / m . Se o cilindro é liberado a partir do repouso, no instante de tempo t = 0 , da posição em que está deslocado de uma distância y = 100   m m em relação a sua posição de equilíbrio, trace o gráfico do deslocamento y em função do tempo, durante o primeiro segundo, para os dois casos em que o coeficiente de amortecimento viscoso é:

(a) c = 124   N ⋅ s / m e

(b) c = 80   N ⋅ s / m

Passo 1

Bom, primeiro a gente deve lembrar qual a fórmula genérica de um movimento harmônico amortecido:

y ¨ + 2 ζ ω n y ˙ + ω n 2 y = 0

E sabemos que a solução geral dessa equação será:

y = A 1 e λ 1 t + A 2 e λ 2 t

Onde

λ 1,2 = ω n ( - ζ ± ζ 2 - 1 )

Passo 2

Agora, vamos calcular o valor da frequência angular natural ω n pela fórmula:

ω n = k m

Onde k é a constante elástica da mola e m a massa do cilindro

ω n = 800 N m 4   k g

ω n = 14,14   r a d / s

Passo 3

Agora que a gente já achou os dados comuns aos dois itens pedidos, vamos dividir o problema.

(a) c = 124   N ⋅ s / m

Aqui, nós devemos calcular fator de amortecimento ζ pela fórmula:

ζ = c 2 m ω n

ζ = 124   N ⋅ s / m 2 ( 4   k g ) ( 14,14   r a d / s )

ζ = 1,096

Passo 4

Como ζ > 1 , então temos um amortecimento supercrítico.

Substituindo na fórmula dos λ

λ 1 = ω n ( - ζ + ζ 2 - 1 )

λ 1 = ( 14,14   r a d / s ) ( - 1,096 + ( 1,096 ) 2 - 1 )

λ 1 = ( 14,14   r a d / s ) ( - 1,096 + 1,201216 - 1

λ 1 = ( 14,14   r a d / s ) ( - 1,096 + 0,449 )

λ 1 = - 9,16   s - 1

λ 2 = ω n ( - ζ - ζ 2 - 1 )

λ 2 = ( 14,14   r a d / s ) ( - 1,096 - ( 1,096 ) 2 - 1 )

λ 2 = ( 14,14   r a d / s ) ( - 1,096 - 1,201216 - 1

λ 2 = ( 14,14   r a d / s ) ( - 1,096 - 0,449 )

λ 2 = - 21,8   s - 1

Passo 5

Nas condições iniciais, t = 0 e y = 0,100   m :

y 0 = 0,100   m = A 1 + A 2

Para achar y ˙ 0 , devemos derivar a solução geral e substituir o tempo t por 0 , lembrando que foi solto do repouso, o que nos resulta em:

y ˙ 0 = 0 = A 1 λ 1 + A 2 λ 2

y ˙ 0 = 0 = - 9,16 A 1 - 21,8 A 2

Com isso, montamos o sistema:

A 1 + A 2 = 0,100   ( I )   - 9,16 A 1 - 21,8 A 2 = 0   ( I I )

A 1 = 0,100 - A 2   ( I ) - 9,16 ( 0,100 - A 2 ) - 21,8 A 2 = 0   ( I I )

9,16 A 2 - 21,8 A 2 = 0,916   ( I I )

- 12,64 A 2 = 0,916   ( I I )

A 2 = - 0,0722   m

A 1 = 0,100 - A 2   ( I )

A 1 = 0,100 - - 0,0722   m     I

A 1 = 0,1722   m

Que ao ser resolvido nós encontramos:

A 1 = 0,1722   m   e   A 2 = - 0,0722   m

A solução deste item será:

y = 0,1722 e - 9,16 t - 0,0722 e - 21,8 t   m

Passo 6

Agora vamos resolver para o segundo item

(b) Cálculo do fator de amortecimento ζ :

ζ = c 2 m ω n

ζ = 80   N ⋅ s / m 2 ( 4   k g ) ( 14,14   r a d / s )

ζ = 0,707

Passo 7

Como ζ < 1 , então temos um amortecimento subcrítico.

Devido a isso, temos a solução:

y = C e -   ζ ω n t ⋅ s e n ( ω d t + φ )

Passo 8

Vamos calcular ω a pela fórmula:

ω d = ω n 1 - ζ 2

ω d = 14,14 r a d / s 1 - 0,707 2

ω d = ( 14,14 r a d / s ) 1 - 0,499849

ω d = ( 14,14 r a d / s ) ( 0,707 )

ω d = 10   r a d / s

Passo 9

Nas condições iniciais t = 0 e y = 0,100   m :

y 0 = 0,100   m = C ⋅ s e n ( φ )

Para achar y ˙ 0 , devemos derivar a solução geral e substituir o tempo t por 0 , lembrando que foi solto do repouso, o que nos resulta em:

y ˙ 0 = 0 = - ζ ω n C ⋅ s e n φ + C ω d ⋅ c o s ⁡ ( φ )

Com isso, montamos o sistema:

C ⋅ s e n ( φ ) = 0,100   - ( 0,707 ) ( 14,14 r a d / s ) C ⋅ s e n φ + C ( 10 r a d / s ) ⋅ c o s ⁡ ( φ ) = 0

Que ao ser resolvido nós encontramos:

C = 0,1414   m   e   φ = 0,785   r a d

A solução deste item será:

y = 0,1414   e -   0,707 ( 14,14 ) t ⋅ s e n ( 10 t + 0,785 )

y = 0,1414 e -   10 t ⋅ s e n 10 t + 0,785   m

Resposta

(a) A equação de posição será:

y = 0,1722 e - 9,16 t - 0,0722 e - 21,8 t   m

(b) A equação de posição será:

y = 0,1414 e -   10 t ⋅ s e n 10 t + 0,785   m

E o gráfico de ambas as equações encontra-se logo abaixo:

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um carro velho que está erguido por um guindaste de captação magnética é solto a partir de uma pequena distancia acima do solo. Despreze quaisquer efeitos de amortecimento dos seus amortecedores estra
Se a massa de 100 kg tem uma velocidade para baixo de 0.5 m/s quando cruza a sua posição de equilibro, calcule o módulo a m a x de sua aceleração máxima. Cada uma das duas molas possui uma rigidez k =
Substitua as molas em cada um dos dois casos representados, por uma única mola de rigidez k (rigidez equivalente da mola), que fará com que cada massa vibre com sua frequência original.
Prove que a frequência natural f n de oscilação da massa m independe de θ .
30. O corpo de 3,6k g do problema 8.28 é liberado a partir do repouso a uma distância x 0 à direita da posição de equilíbrio. Determine o deslocamento x como uma função do tempo t , onde t = 0 é o ins