Enunciado

Um oscilador não amortecido de massa m e frequência própria ω 0 move-se sob a ação de uma força externa F = F 0 exp ⁡ - β t , onde β > 0 é uma constante. Inicialmente, o oscilador encontra-se em repouso na posição de equilíbrio. Ache o deslocamento x t . Sugestão: Use o método da Seção 4.3 (a), procurando uma solução particular da equação diferencial inomogêna de comportamento análogo ao de F .

Passo 1

Vamos lembrar da equação diferencial de um oscilador harmônico simples.

Começamos com a segunda lei de Newton descrevendo uma força restauradora qualquer:

m x ¨ = - k x

E definimos ω 0 2 = k / m , então:

x ¨ = - ω 0 2 x

Se além da força restauradora nós temos uma força externa F t , a equação fica da seguinte forma:

x ¨ + ω 0 2 x = F 0 m e - β t  

A solução homogênea da EDO (desconsiderando o termo da força externa) é a que já conhecemos bem para o oscilador harmônico:

x h t = A sen ⁡ ω 0 t + B cos ⁡ ω 0 t  

Mas agora precisamos achar uma solução não homogênea.

Passo 2

Como temos uma função exponencial do outro lado da equação, vamos chutar a seguinte solução particular:

x p t = C e - β t

Substituindo isso na EDO, ficamos com o seguinte:

β 2 C e - β t + ω 0 2 C e - β t = F 0 m e - β t

Vamos dividir tudo por e - β t :

β 2 C + ω 0 2 C = F 0 m

C = F 0 m β 2 + ω 0 2

Então:

x p t = F 0 m β 2 + ω 0 2 e - β t

Agora vamos juntar as duas soluções que encontramos para determinar a solução geral:

x t = x h t + x p t

x t = A sen ⁡ ω 0 t + B cos ⁡ ω 0 t + F 0 m β 2 + ω 0 2 e - β t

Passo 3

Agora vamos impor as condições iniciais que foram dadas no enunciado:

x 0 = 0 x ˙ 0 = 0

Começando pela primeira:

x 0 = B + F 0 m β 2 + ω 0 2 = 0

B = - F 0 m β 2 + ω 0 2

Para aplicar a segunda condição, primeiro nós precisamos derivar x t :

x t = A sen ⁡ ω 0 t + B cos ⁡ ω 0 t + F 0 m β 2 + ω 0 2 e - β t

x ˙ t = A ω 0 cos ⁡ ω 0 t - B ω 0 sen ⁡ ω 0 t - β F 0 m β 2 + ω 0 2 e - β t

Agora vamos fazer x ˙ 0 = 0 :

x ˙ 0 = A ω 0 cos ⁡ 0 - B ω 0 sen ⁡ 0 - β F 0 m β 2 + ω 0 2 = 0

A = β F 0 ω 0 m β 2 + ω 0 2

Então a nossa solução geral fica da seguinte forma:

x t = β F 0 m ω 0 β 2 + ω 0 2 sen ⁡ ω 0 t - F 0 m β 2 + ω 0 2 cos ⁡ ω 0 t + F 0 m β 2 + ω 0 2 e - β t

x t = F 0 m β 2 + ω 0 2 e - β t - cos ⁡ ω 0 t + β ω 0 sen ⁡ ω 0 t

Resposta

O deslocamento é dado por x t = F 0 m β 2 + ω 0 2 e - β t - cos ⁡ ω 0 t + β ω 0 sen ⁡ ω 0 t .

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