Enunciado

Um oscilador vibrando a 1250   H z produz uma onda sonora que se desloca em um gás ideal a 325 m/s quando a temperatura do gás é 22   ° C . Em um certo experimento, você precisa que o mesmo oscilador produza um som de comprimento de onda igual a 28 ,   5   c m nesse gás. Qual deveria ser a temperatura do gás para obter esse comprimento de onda?

Passo 1

Vamos precisar da equação de velocidade da onda em um gás:

v = γ R T M

Que será a relação entre a temperatura do gás e a velocidade.

O enunciado da questão dá para a gente a frequência das oscilações e a velocidade da onda para uma temperatura de   22   ° C do gás. Precisamos encontrar o comprimento de onda nessa situação, e depois usarmos o comprimento que foi dado no caso do experimento para achar a temperatura.

Passo 2

Vamos então usar a equação de velocidade da onda:

v = λ f

Para encontrarmos o comprimento de onda para os valores dados, que é o caso inicial:

λ 1 = v 1 f = 325   m / s 1250   H z = 0,26   m

Passo 3

Agora podemos relacionar o primeiro caso com o segundo através da equação do Passo 1, porque alguns dos valores não variam mesmo com a variação de temperatura e do comprimento de onda, então a gente isola o que não varia para depois podermos fazer a igualdade entre os dois casos:

λ 1 f = γ R T 1 M

λ 1 = 1 f γ R T 1 M

λ 1 = T 1 f γ R M

λ 1 T 1 = 1 f γ R M

Como a gente pode ver, o lado direito não varia mesmo se mudarmos o comprimento de onda:

λ 2 T 2 = 1 f γ R M

Então a gente pode relacionar o caso inicial com o final:

λ 1 T 1 = λ 2 T 2

Elevamos tudo ao quadrado, e isolamos T 2 que é a temperatura que buscamos:

T 2 = λ 2 λ 1 2 T 1

Substituindo os valores dados com o comprimento de onda λ 1 que calculamos no Passo 2:

T 2 = 28,5   c m 26,0   c m 2 295,15   K

T 2 = 354,6   K = 81,4   ° C

Nós convertemos a temperatura para Kelvin antes de substituir porque a equação da velocidade da onda em um gás usa Kelvin em suas grandezas, então precisamos fazer todas as contas com a temperatura em Kelvin e converter somente no resultado.

Resposta

T 2 = 81,4   ° C

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