Enunciado

Uma partícula com carga q situa-se sobre o eixo de um disco circular de raio a , à distância b do mesmo, como mostra a Figura 15.21. Calcule o fluxo do campo elétrico no disco. Sugestão: considere uma casca esférica centrada na carga e passando pelo contorno do disco.

Passo 1

Seguindo a sugestão do enunciado, podemos considerar uma esfera centrada na carga q que contorne o disco:

O fluxo do campo elétrico sobre o pedacinho da calota esférica é igual ao fluxo sobre o disco pois todas as linhas de campo que atravessam o disco vão atravessar também a calota esférica:

Φ d i s c o = Φ c a l o t a   e s f e r i c a

O fluxo sobre a calota esférica é tranquilo de calcular pois o campo da carga pontual é radial e dado por

E = 1 4 π ϵ 0 q R 2

Daí, o fluxo sobre a calota será

Φ c a l o t a   e s f e r i c a = ∫ E → ⋅ d A → = ∫ 1 4 π ϵ 0 q R 2   d A = 1 4 π ϵ 0 q R 2 ∫ d A = 1 4 π ϵ 0 q R 2 ⋅ A c a l o t a

Lembre-se que

R 2 = a 2 + b 2

Passo 2

Precisamos da área da calota esférica:

Eu dei uma pesquisada no wikipedia e achei:

A c a l o t a = 2 π R h

Mas sabemos que

h = R - b

Logo,

A c a l o t a = 2 π R R - b

Com isso, o fluxo sobre a calota será

Φ c a l o t a   e s f e r i c a = 1 4 π ϵ 0 q R 2 ⋅ 2 π R R - b

Φ c a l o t a   e s f e r i c a = q 2 ϵ 0 ⋅ R - b R = q 2 ϵ 0 1 - b R

Por fim, usando R = a 2 + b 2 :

Φ c a l o t a   e s f e r i c a = q 2 ϵ 0 1 - b a 2 + b 2

Como visto no começo do problema, o fluxo sobre a calota é igual ao fluxo sobre o disco, de modo que

Φ d i s c o = q 2 ϵ 0 1 - b a 2 + b 2

Resposta

Φ d i s c o = q 2 ϵ 0 1 - b a 2 + b 2

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