Enunciado

Uma partícula é lançada da superfície da terra com uma rapidez igual a duas vezes a rapidez de escape. Quando muito distante da terra, qual é a sua rapidez?

Passo 1

Vamos começar determinando o referencial para energia potencial igual a 0 no infinito. Daí vamos usar a conservação de energia pra solucionar o problema associando as duas energias: a energia inicial (na Terra) e a energia de quando o corpo no infinito.

K ∞ - K i + U ∞ - U i = 0

Como U ∞ = 0 :

K ∞ - K T - U T = 0

O índice T é referente à Terra.

Vamos considerar m a massa do objeto.

Passo 2

Agora vamos substituir cada uma das energias em cada ponto que elas são calculadas:

1 2 m v ∞ 2 - 1 2 m 2 v e 2 + G M m R = 0

Onde v e é a velocidade de escape do objeto, já que essa é a velocidade inicial dela.

Como G M = g R 2 , onde g é a gravidade próximo à superfície da Terra, podemos facilitar a nossa vida:

1 2 m v ∞ 2 - 2 m v e 2 + m g R = 0

Passo 3

Agora é só isolar v ∞ , que é o que queremos!

v ∞ = 2 2 v e 2 - g R

Agora é só substituir os valores e cabôsse!

v ∞ = 2 2 11.2 ∙ 10 3   m / s 2 - 9.81 m / s 2 6.37 ∙ 10 6   m        

v ∞ = 19.4   k m / s

Resposta

v ∞ = 19.4   k m / s

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