Enunciado

Uma partícula de massa m e carga q está confirnada a mover-se verticalmente dentro de um cilindro estreito sem atrito (Figura 21-47). No fundo do cilindro está uma carga puntiforme Q que tem o mesmo sinal de q . (a) Mostre que a partícula cuja massa é m estará em equilíbrio a uma altura de y 0 = k q Q / m g 1 / 2 . (b) Mostre que, se a partícula é levemente deslocada de sua posição de equilíbrio e liberada, ela exibirá movimento harmônico simples com frequência angular ω = 2 g / y 0 1 / 2 .

Passo 1

  1. A bolinha estará em equilíbrio quando a força peso for igual a força elétrica. Sendo assim,
  2. m g = k Q q y 0 2 ⟹ y 0 = k Q q m g

    Passo 2

  3. Vamos deslocar a bolinha por uma distância y para baixo, de modo que y ≪ y 0 . Assim, a nova força elétrica será:

F e l = k Q q y 0 - y 2 = k Q q y 0 2 1 - y y 0 2

Agora, vamos usar uma famosa aproximação, conhecida como expansão de Bernoulli, que diz:

1 + x n ≈ 1 + n x

e ela só é válida quando x ≪ 1 (ou seja, x for muito menor do que 1 ), okay? Dessa forma, temos que

F e l = k Q q y 0 2 1 - y y 0 - 2 ≈ k Q q y 0 2 1 + 2 y y 0

Passo 2

Sendo assim, a força resultante sobre a partícula será:

F = m g - F e l = m g - k Q q y 0 2 - 2 k Q q y 0 3 y

Porém, m g = k Q q / y 0 2 , de modo que

F = - 2 k Q q y 0 3 y = - 2 k Q q y 0 2 ⋅ y y 0 = - 2 m g y 0 y

Note que a força possui a expressão de um MHS, com

ω 2 = 2 m g / y 0 m = 2 g y 0 ⟹ ω = 2 g y 0

que é o que queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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