Enunciado

Uma partícula de velocidade v 0 colide elasticamente com outra idêntica em repouso. No referencial do CM, a direção de movimento é desviada de 60 ° em virtude da colisão. Calcule os ângulos de deflexão, em relação à direção de movimento da partícula incidente, e as magnitudes das velocidades das duas partículas após a colisão, no referencial do laboratório.

Passo 1

Galera, a velocidade do centro de massa fica assim

V c m = 1 2 m m v 0 + m v 1 ⏝ 0

= v 0 2

Ou seja, as velocidades relativas ao centro de massa antes da colisão são

v i 0 ' = v i 0 - v c m

= v 0 2

v i 1 ' = v i 1 - v c m

= - v 0 2

O momento linear também se conserva no referencial do CM, por isso podemos escrever

P f ' 1 + P f ' 0 = P i ' 1 + P i ' 0

m v f ' 1 + v f ' 0 = m v i ' 1 + v i ' 0

v f ' 1 + v f ' 0 = - v 0 2 + v 0 2 = 0

v f ' 1 = - v f ' 0

Ou seja, os vetores velocidade final formam um ângulo de 180 °   entre si. Logo, se o ângulo entre v f ' 0 e v c m é de 60 ° o ângulo entre v f ' 1 e v c m é de 120 ° . Show!

Além disso, pela conservação de energia cnética

m 2 v i ' 0 2 + v i ' 1 2 = m 2 v f ' 0 2 + v f ' 1 2

Tirando os termos em comum,

v i ' 0 2 + v i ' 1 2 = v f ' 0 2 + v f ' 1 2

Agora usando a relação v f ' 1 = - v f ' 0   e substituindo os valores de velocidade inicial temos

v 0 2 4 + v 0 2 4 = v f ' 0 2 + - v f ' 0 2

v 0 2 2 = 2 v f ' 0 2

v 0 2 2 = v f ' 0 2  

Finalmente,

v f ' 0 = v 0 2 = v c m

Tá, mas no que isso ajuda? Como o que queremos é o ângulo dos vetores no referencial de laboratório vamos olhar pro esquema

Esse triângulo é montado com base nas velocidades relativas, vejam que

v ⃑ f ' 0 = v ⃑ f 0 - v ⃑ c m

Tá, o ângulo θ (verde) entre a linha do centro de massa e o nosso vetor velocidade final (no referencial de laboratório) é o mesmo que aquele lá de cima, por propriedade de ângulos alternos internos.

Ele também é aquele mesmo ângulo de baixo porque nosso triângulo é isósceles! Isso porque v f ' 0 = v c m pelas continhas que fizemos ali em cima, agora sim hein!

Pronto, sabendo que o ângulo no referencial do centro de massa é 2 θ = 60 ° , o ângulo que queremos vale 60 2 ° = 30 ° . Pra a partícula 1 vale a mesma coisa, só que como vimos 2 θ = 120 ° , ou seja, θ = 60 ° .

Passo 2

Pronto, já sabemos cada ângulo, só falta descobrir as velocidades, olhando pro triângulo de cima de novo fica assim

v f 0 = v ' f 0 c o s 30 ° + v c m c o s 30 °

= c o s 30 ° v 0 2 + v 0 2

= v 0 2 3

Fazendo o mesmo pra a velocidade da partícula que estava em repouso

v f 1 = v ' f 1 c o s 60 ° + v c m c o s 60 °

= c o s 60 ° v 0 2 + v 0 2

= v 0 2

Resposta

v f 0 : v 0 3 2   ,   30 °

v f 1   :   v 0 2   ,   60 °

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