Enunciado

Na teoria corpuscular da luz, no século 17, imaginava-se um feixe de luz como constituído de corpúsculos muito pequenos, movendo-se com velocidade muito elevada. A reflexão da luz num espelho seria produzida pela colisão dos corpúsculos luminosos com o mesmo, de forma análoga a uma colisão elástica com uma parede impenetrável. Ao atravessar a superfície de separação entre dois meios transparentes distintos (ar e água, por exemplo). um corpúsculo luminoso teria sua velocidade alterada pelo efeito de uma força impulsiva normal à superfície de separação, prosseguindo depois em seu movimento, livre da ação de forças. Sejam θ 1 ,   θ ' 1 e θ 2   os ângulos de incidência, reflexão, e refração respectivamente. Mostre que este modelo explicaria as leis da reflexão e da refração: raios refletido e refratado no plano de incidência, com θ 1 ' = θ 1 , s e n θ 1 s e n θ 2 = n 12 , e calcule o índice de refração relativo n 12 do segundo meio em relação ao primeiro em função das velocidades v 1 e   v 2 dos corpúsculos nos meios 1 e 2. A velocidade dos corpúsculos seria maior no ar ou na água?

Passo 1

Vamos começar pela reflexão. Esse esquema aqui representa nossa situação

  • O momento inicial dos corpúsculos era de
  • P i ⃑ = m ( v 1 s e n θ 1   i ^ + v 1 c o s θ 1   j ^   )

    (Nesse caso o coseno está na vertical e o seno na horizontal)

  • O momento Final dos corpúsculos é de

P f ⃑ = m ( v 2 s e n θ ' 1   i ^ + v 2 c o s θ ' 1   j ^   )

Pela conservação do momento

m v 2 s e n θ ' 1   i ^ + v 2 c o s θ ' 1   j ^   = m v 1 (   s e n θ 1   i ^ + v 1 c o s θ 1 j ^ )

Como v 2 = v 1   pela colisão ser elástica temos

s e n θ 1 = s e n θ 1 '

c o s θ 1 = c o s ' θ 1

Concluímos que

θ 1 ' = θ 1

Passo 2

Já pela refração podemos visualizar assim

Sabemos que a partícula mudou seu momento devido a uma força na direção j ^ , mas na direção i ^ ele se conserva, então vamos analisar essa componente

Δ P x =   0

P x i   =   m v 1 s e n θ 1

P x f = m v 2 s e n θ 2

P x i = P x f

  m v 1 s e n θ 1 = m v 2 s e n θ 2

v 1 s e n θ 1 = v 2 s e n θ 2

v 2 v 1 = s e n θ 1 s e n θ 2 = n 12

Como o ângulo θ 1   é maior então v 2 > v 1 . Logo a velocidade seria maior na água.

Resposta

n 12 = v 2 v 1   .     V e l o c i d a d e   m a i o r   n a   á g u a

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