Enunciado

Um pássaro voando em um plano x y possui coordenadas x t = α t e y t = 3,0   m - β t 2 onde α = 2,4   m / s e β = 1,2   m / s 2 . a) Faça um esboço da trajetória do pássaro entre t = 0 e t = 2,0 s . b) Ache o vetor velocidade e o vetor aceleração do pássaro em função do tempo. c) Ache o módulo, a direção e o sentido do vetor velocidade e do vetor aceleração do pássaro para t = 2,0 s . d) Faça um esboço do vetor velocidade e do vetor aceleração do pássaro para t = 2,0 s . Nesse instante, a velocidade escalar do pássaro está aumentando, diminuindo ou é constante? O pássaro está fazendo uma volta? Em caso positivo, em que sentido?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e eu estarei te ajudando a resolver.

Temos aqui um pássaro voando e temos sua equação do movimento, tanto para o movimento em x quanto para o movimento em y . Para encontrarmos a velocidade e a aceleração deveremos derivar a equação do espaço.

Passo 2

  1. Primeiro, vamos calcular x e y para os valores de t = 0 a t = 2 s :
  2. Para x :

    Temos que x t = α t e α = 2,4   m / s . Dessa forma: t = 0   ⇒ x = 0 t = 2 s   ⇒ x = 4,80 m

    Para y :

    Temos que: y t = 3,0   m - β t 2 e β = 1,2   m / s 2 . Dessa forma: t = 0   ⇒ y = 3 m t = 2 s   ⇒ y = - 1,80 m

    Com esses valores, construímos o gráfico x y que é a trajetória do passaro:

  3. Para encontrarmos a velocidade, derivamos x t = α t e y t = 3,0   m - β t 2 em função do tempo, t :

    v x = d x d t = d ( α t ) d t = α

    E

    v y = d y d t = d ( 3,0   m - β t 2 ) d t = - 2 β t

    Passo 3

    E para encontrarmos a aceleração, derivamos a velocidade:

    a x = d v x d t = d ( α ) d t = 0

    E

    a y = d v y d t = d ( - 2 β t ) d t = - 2 β

    Assim:

    v → = a i ^ - 2 β t j ^

    E

    a → = - 2 β j ^

    Passo 4

  4. Pois então, vamos encontrar a velocidade v , quando t = 2 s :
  5. Nós encontramos: v x = α = 2,4   m / s v y = - 2 β t = - 2 ⋅ 1,2   m / s 2 ⋅ 2 s = - 4,8 m / s

    Vamos esboçar a situação:

    Para encontrarmos v , fazemos

    v = v x 2 + v y 2

    = ( 2,4   m / s ) 2 + ( - 4,8 m / s ) 2 = 5,4 m / s

    Seguindo para encontrar o ângulo α , fazemos:

    tan ⁡ α = v y v x = tan ⁡ - 4,8 m / s 2,4   m / s = - 2

    ⇒ α = tan - 1 ⁡ - 4,8 m / s 2,4   m / s = - 63,4 °

    Observando o nosso esboço, temos que: α = - 63,4 ° + 360 ° = 297 °

    Passo 4

    Agora, vamos encontrar a aceleração, a , quando t = 2 s :

    Nós encontramos: a x = 0 a y = - 2 β = - 2 ⋅ 1,2   m / s 2 = - 2,4 m / s

    Vamos esboçar a situação:

    E para encontrarmos a , fazemos

    v = a x 2 + a y 2

    = 0 2 + - 2,4 m s 2

    = 2,4 m / s 2

    Seguindo para encontrar o ângulo β , fazemos:

    tan ⁡ β = a y a x = tan ⁡ - 42,4   m / s 0 = - ∞

    ⇒ β = 270 °

    Passo 5

  6. A aceleração, a → , tem um componente a | |   na mesma direção que v → , sabemos que   v está aumentando (o pássaro está acelerando). a → também possui um componente a ⊥ perpendicular a v → , de modo que a direção de v → está mudando; o pássaro está se voltando para para a direita na direção de y . v → é sempre tangente ao caminho; v → em t = 2 s calculado no item (c) é tangente ao caminho neste t , em conformidade com este regra geral.   a → é constante e na direção y ; a direção de v → está virando na direção - y .

Resposta

  1. v → = a i ^ - 2 β t j ^   e a → = - 2 β j ^
  2. v = 5,4 m / s e α = 297 °
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