Enunciado

Uma pedra de massa igual a 0,20 kg é libertada a partir do repouso no ponto A situado no topo de um recipiente hemisférico grande com raio R 0,50 m (Figura 7.25). Suponha que o tamanho da pedra seja pequeno em comparação com R, de modo que a pedra possa ser tratada como uma partícula, e suponha que a pedra deslize sem rolar. O trabalho realizado pela força de atrito quando ela se move de A ao ponto B situado na base do recipiente é igual a 0,22 J.

(a) Entre os pontos A e B, qual é o trabalho realizado sobre a pedra pela (i) força normal e (ii) gravidade?

(b) Qual é a velocidade da pedra quando ela atinge o ponto B?

(c) Das três forças que atuam sobre a pedra enquanto ela desliza de cima para baixo no recipiente, qual é constante (se é que existe alguma) e qual não é constante? Explique.

(d) Assim que a pedra atinge o ponto B, qual é a força normal que atua sobre ela no fundo do recipiente?

Passo 1

Opa! O enunciado nos dá a seguinte figura:

A pedra sai do ponto A e vai até o ponto B e o trabalho realizado pela força de atrito nesse movimento é igual a 0,22   J . O enunciado também nos dá os dados:

R = 0,50   m

m = 0,20   k g

v 0 = 0   m / s

Além disso vamos desprezar as dimensões da pedra por ela ser muito menor que o raio da cuba.

Queremos o trabalho realizado sobre a pedra pela força normal e pela gravidade. Temos que o trabalho total é dado por:

W T o t a l = K b - K a

Temos que y = 0 , inicialmente, e y A = 0,50   m ; o trabalho da força de atrito W f = - 0,22   J e a aceleração radial é a r a d = v 2 R .

Podemos desenhar o seguinte diagrama de forças:

Passo 2

Vamos calcular o trabalho nos seguintes pontos, como pede a letra a!

  1. Pelo diagrama vemos que a força normal é perpendicular ao deslocamento, por isso não há trabalho.
  2. Já o trabalho da gravidade é

W g r a v i d a d e = U g r a v , A - U g r a v , B

W g r a v i d a d e = m g y A

W g r a v i d a d e = ( 0,20   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) ( 0,50   m )

W g r a v i d a d e = 0,98   J

Passo 3

Agora vamos calcular a velocidade da pedra quando ela atinge o ponto B utilizando, de novo a fórmula do trabalho total:

W T o t a l = K b - K a

Considerando todas as forças atuantes, então:

W T o t a l = W n o r m a l + W f + W g r a v i d a d e

W T o t a l = 0 + ( - 0,22   J ) + 0,98   J

W T o t a l = 0,76   J

Relacionando com:

W T o t a l = K B - K A = 1 2 m v B 2

W T o t a l = 1 2 m v B 2

0,76   J = 1 2 0,20   k g v B 2

v B = 2,8   m / s

Passo 4

Para a letra “c”, a gravidade é constante e igual a m g . Já a normal não é constante, porque como vimos na resolução da letra a, a força normal é perpendicular ao deslocamento, por isso não há trabalho; “n” é zero em A e não zero em B.

A força de atrito f n = μ n não é constante, pois depende da normal.

Passo 5

Podemos calcular a força normal no ponto B, considerando

∑ F y = m a y

n - m g = m a r a d

a r a d = n - m g m

a r a d = n - ( 0,20   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) 0,20   k g

Como não temos a aceleração, faremos

a r a d = ( 2,8   m / s ) 2 0,50   m

a r a d = 15,68

Voltando,

15,68 = n - ( 0,20   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) 0,20   k g

3,136 = n - 1,96

n = 5,1   N

Prontinho!

Resposta

a) W g r a v i d a d e = 0,98   J

b) v B = 2,8   m / s

c) a gravidade é constante, já a normal não é constante e a força de atrito não é constante.

d) n = 5,1   N

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