Enunciado

Um pêndulo é formado suspendendo-se por um ponto uma barra longa e fina. Em uma série de experimentos o período é medido em função da distância x entre o ponto de suspensão e o centro da barra. (a) Se o comprimento da barra é L = 2,20 m e a massa é m = 22,1 g , qual é o menor período? (b) Se x é escolhido de modo a minimizar o período e L é aumentado, o período aumenta, diminui ou permanece o mesmo? (c) Se, em vez disso m for aumentada com L mantido constante, o período aumenta, diminui ou permanece o mesmo?

Passo 1

O período do pêndulo é dado por T = 2 π I / m g d , onde I é o seu Momento de Inércia, m = 22,1 g é a sua massa, e d é a distância do centro de massa ao eixo de rotação. O momento de inércia de uma haste com eixo de rotação em seu centro é m L 2 / 1 2 com L = 2,20 m . De acordo com o teorema dos eixos paralelos, seu momento de inércia quando articulada a distância d do centro é I = m L 2 / 12 + m d 2 . Portanto:

T = 2 π m L 2 12 + d 2 m g d = 2 π L 2 + 12 d 2 12 g d

Para minimizar T em relação a d , basta derivar e igualar a zero. Assim, fazendo d T / d d = 0 , a gente obtém que d = L / 12 . Portanto, o período mínimo T é:

T m i n = 2 π L 2 + 12 L / 12 2 12 g L / 12 = 2 π 2 L 12 g = 2 π 2 2,20 m 12 9,80 m / s 2 = 2,26 s

Passo 2

Se d for escolhido para minimizar o período, então, à medida que L aumenta, o período aumentará também.

Passo 3

O período não depende da massa do pêndulo, então T não muda quando m aumenta.

Resposta

(a) T m i n = 2,26 s

(b) Se L aumentar, o período também aumentará

(c) O período independe da massa.

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