Enunciado

Na Fig. 15-44, uma barra de comprimento L = 1,85 m oscila como um pêndulo físico. (a) Que valor da distância x entre o centro de massa da barra e o ponto de suspensão O corresponde ao menor período? (b) Qual é esse período?

Passo 1

Falaaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Esse exercício aqui é muito parecido ao exercício tratado no Problema Exemplo – “Período de comprimento de um pêndulo físico”, exceto que O não é mais a extremidade da barra. Chamando de C o centro de massa (assumindo que também seja o centro geométrico da barra), nós podemos ver que a distância entre C e O é h = x . Aplicando o teorema dos eixos paralelos, a gente tem:

I = 1 12 m L 2 + m h 2 = m L 2 12 + x 2

Sabendo do momento de inércia, a gente substitui na equação do período T .

T = 2 π I m g h = 2 π L 2 / 12 + x 2 g x = 2 π L 2 + 12 x 2 12 g x

Beleza! Próximo passo, agora, é derivar e igualar a zero. Assim, a gente acha o mínimo da função. Minimizando T a partir de gráficos é fácil, mas o método de calcular (igualando a derivada da função a zero) pode fornecer pontos que não são necessariamente mínimos da função. Pra facilitar nossa vida, como a dependência de x encontra-se somente dentro da raiz, vamos achar o mí imo da função que tá dentro da raiz quadrada.

d L 2 x + 12 x d x = - L 2 x 2 + 12 = 0

Isso nos leva a

L 2 x 2 = 12

x = L 12 = 1,85 m 12 = 0,53 m

Passo 2

Pra achar o período, basta substituir o valor de x na equação do período. Com L = 1,85 m e x = 0,53 m , nós obtemos T = 2,1 s a partir da expressão derivada no item (a).

Resposta

(a) x = 0,53 m

(b) T = 2,1 s

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