Enunciado

5 . Considere o pêndulo simples mostrado na Figura 13.4 do texto. Suponha que o pêndulo seja abandonado, do repouso, no instante t = 0 , a um ângulo θ 0 . Obtenha a função T ( t ) que descreve a evolução da tensão do fio com o tempo.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Em um pêndulo simples, temos que a força resultante na direção radial é igual a força centrípeta, já que o movimento do pêndulo é um movimento circular incompleto com isso temos que:

m v 2 R = T - P cos ⁡ θ

Onde R = l para o nosso caso, então:

T = m v 2 l + P cos ⁡ θ

Só que tanto o ângulo θ como a velocidade v , variam no tempo. Para pequenas oscilações temos que a aceleração tangencial da partícula e a aceleração angular, são dadas por:

a = l θ ¨

θ ¨ + g l θ = 0

E é a partir disso que vamos chegar em uma expressão para v e θ que dependam de t .

Passo 2

Primeiro vamos mexer com a equação da aceleração angular.

θ ¨ + g l θ = 0

Essa equação é igual a equação que de osciladores harmônicos se chamarmos g / l = ω 2 , com isso temos que a solução dessa equação é:

θ t = A sen ⁡ ( ω t ) + B cos ⁡ ( ω t )

Podemos encontrar os valores de A e B com as condições iniciais. Para t = 0 temos que θ = θ 0 , assim:

θ 0 = B

Para achar o valor de A , vamos derivar a expressão que temos para θ ( t ) , assim temos:

θ ˙ t = A ω cos ⁡ ω t - B ω sen ⁡ ω t

Segundo o enunciado o pêndulo parte do repouso, logo θ ˙ 0 = 0 , assim:

A = 0

Juntando isso que encontramos, temos que:

θ ( t ) = θ 0 cos ⁡ ω t

Passo 3

Agora vamos mexer com a equação da aceleração tangencial, temos o seguinte:

a = l θ ¨

⇒ a = d v d t = l θ ¨ ( t )

⇒ d v = l θ ¨ ( t ) d t

Com isso temos que:

v - v 0 = l θ ˙ ( t )

Mas como o pêndulo parte do repouso, temos que v 0 = 0 .

No passo anterior encontramos uma expressão para θ ˙ ( t ) , usando isso temos:

v = - l θ 0 ω sen ⁡ ω t

Passo 4

Juntando tudo isso na expressão da tensão que vimos no passo 1 , temos:

T = m v 2 l + P cos ⁡ θ

Só que na aproximação de pequenos ângulos, temos que cos ⁡ θ ≈ 1 , assim:

T = m v 2 l + m g

Substituindo o que encontramos para v , temos:

T = m l - l θ 0 ω sen ⁡ ω t 2 + m g

⇒ T = m l ω θ 0 sen 2 ⁡ ( ω t ) + m g

Usando que ω = g / l , temos:

T = m l g l θ 0 sen 2 ⁡ g l t + m g

⇒ T = m g l θ 0 sen 2 ⁡ g l t + m g

⇒ T = m g l θ 0 sen 2 ⁡ g l t + g

Com isso chegamos na expressão que descreve o valor da tensão em função do tempo t .

Resposta

T = m g l θ 0 sen 2 ⁡ g l t + g

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