Enunciado

Uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de um aro circular situado em um plano vertical com raio igual a 0,100   m . O aro gira com uma taxa constante de 4,0   r e v / s em torno de um diâmetro vertical (Figura 5.80).

a) Ache o ângulo β para o qual a conta está em equilíbrio vertical. (É claro que ela possui uma aceleração radial orientada para o eixo da rotação.)

b) Verifique se é possível a conta “subir” até uma altura igual ao centro do aro.

c) O que ocorreria se o aro girasse com 1,0   r e v / s ?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de um aro circular situado em um plano vertical com raio igual a R = 0,100   m .

O aro gira com uma taxa constante de f = 4,0   r e v / s em torno de um diâmetro vertical de acordo com a seguinte figura:

Queremos encontrar o ângulo β para o qual a conta está em equilíbrio vertical e verificar se é possível a conta “subir” até uma altura igual ao centro do aro.

Também deveremos analisar o que ocorreria se o aro girasse com 1,0   r e v / s .

Para resolver tudo isso, precisaremos decompor as forças na vertical e na horizontal.

Também devemos saber que a força centrípeta F c e n t r í p e t a é dada por:

F c e n t r í p e t a = m v 2 R

Onde v é a velocidade e R é o raio.

Passo 2

  1. Antes de tudo temos que ver que tem dois movimentos aí: a conta (você pode imaginar que é uma missanga) em volta do aro e o aro em torno dele mesmo.
  2. Sobre essa conta está agindo o peso, vertical para baixo, e a normal, que é radial e aponta para o centro da trajetória.

    A componente vertical da normal deve contrabalançar a forma peso, enquanto que a componente horizontal n s e n β deve ser igual a força resultante radial.

    Além disso, temos que a força normal será dependente do ângulo β .

    Vamos equacionar as forças.

    Na vertical:

    n c o s β = m g

    n = m g c o s β

    Na horizontal:

    n s e n β = m v 2 R = m . a r a d

    n = m v 2 R s e n β = m a r a d s e n β

    Passo 3

    E, igualando essas duas relações (verticais e horizontais), teremos apenas como variável o ângulo β :

    m a r a d s e n β = m g c o s β

    Ajeitando,

    s e n β c o s β = a r a d g

    Onde a r a d é a aceleração radial e g é a aceleração da gravidade.

    Pronto! Achamos a relação de β , agora vamos desenvolver um pouco mais!

    Passo 4

    Como temos um movimento circular temos que a aceleração radial será,

    a r a d = v 2 R

    mas não temos a velocidade no ponto. Então vamos reescrever a velocidade em termos do período T de revolução:

    v = 2 π r T

    E assim a aceleração radial também pode ser reescrita:

    a r a d = 4 π 2 r T 2

    Temos que r = R s e n β , então a aceleração radial fica:

    a r a d = 4 π 2 R s e n β T 2

    E substituindo na relação encontrada do Passo 1:

    s e n β c o s β = 4 π 2 R s e n β T 2 g

    Passo 5

    Agora sim! Ufa! Podemos simplificar o seno e reescrever, olha só:

    1 c o s β = 4 π 2 R T 2 g

    Ajeitando,

    c o s β = T 2 g 4 π 2 R

    O enunciado forneceu a frequência,

    f = 4   r e v / s

    então o período fica

    T = 1 f = 1 2 = 0,25 s

    Como o raio é 0,1 m , g = 9,8 . Agora é só substituir:

    c o s β = 0,25 2 ⋅ 9,8 4 ⋅ π 2 ⋅ 0,1 = 0,155

    β = arccos ⁡ 0,155 = 81,07 °

    Passo 6

  3. Para subir até o centro do aro, o ângulo β deve ser 90 ° , e cos ⁡ 90 ° = 0 . Achamos essa relação do cosseno desse ângulo com o período, saca só:
  4. c o s β = T 2 g 4 π 2 R

    Daí, se tivermos o cosseno indo a zero, isso significa que o período também vai a zero. E sabemos que quanto menor o período, maior a velocidade.

    Resumindo, se β → 90 ° , T → 0 e por consequência v → ∞ .

    A conta deveria girar muuuuuito rápido para conseguir subir. Então isso não é possível, ok?

    Passo 7

  5. Agora temos uma nova frequência, e assim um novo período. Vamos calcular o novo período primeiro:

T = 1 f = 1 1 = 1

Ok, agora vamos calcular o novo valor do cosseno do ângulo:

c o s β = T 2 g 4 π 2 R = 1 2 ⋅ 9,8 4 ⋅ π 2 ⋅ 0,1

c o s β = 2,48

Xii, não existe nenhum valor de β que satisfaça essa solução. Lembra: o cosseno de algum ângulo está sempre entre - 1 e 1 , nunca além disso!

Podemos olhar para essa relação aqui ó, que encontramos no passo 1 :

s e n β c o s β = 4 π 2 R s e n β T 2 g

Antes de cortar dos dois lados o s e n β . Essa relação pode ser satisfeita, tomando o valor 1 pro período, quando β = 0 , pois daí seria satisfeito:

0 = 0

Pois s e n β = 0 e daí teríamos uma igualdade. E esse ângulo β = 0 representa a conta embaixo do aro. Então nesse valor de período a conta não iria subir.

Resposta

a )   β = 81,07 °

b ) N ã o   é   p o s s í v e l ,   p o i s   r e q u e r   v → ∞ .

c )   β = 0 :   c o n t a   n ã o   i r i a   s u b i r

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