Enunciado

Considere uma estrada molhada com inclinação lateral como no Exemplo 5.23 (Seção 5.4 ), no qual há um coeficiente de atrito estático de 0,30 e um coeficiente de atrito cinético de 0,25 entre os pneus e a estrada. O raio da curva é R = 50   m .

  1. Se o ângulo de inclinação lateral for   β = 25 ° qual é a velocidade máxima que um carro pode ter antes que ele deslize para cima do plano inclinado?
  2. Qual a velocidade mínima que um carro pode ter antes que ele deslize para baixo do plano inclinado?

Passo 1

Fala galera! Tudo bem? Essa questão parece difícil, mas vamos com calma!

Aqui temos um carro em uma curva inclinada, onde a normal n → (representada em laranja) está inclinada de β = 25 ° e temos também a força de atrito f a t → (que aponta na direção radial, pois essa seria a trajetória do carro, e está em azul). Não esqueça que o peso p → (em verde) sempre está presente e aponta para baixo.

O ângulo β é o ângulo que a normal faz com o eixo vertical, bem como a força de atrito, mas para baixo do eixo horizontal positivo. Dessa forma teremos essas duas forças com componentes horizontais e verticais. Vou colocar as componentes de forma tracejada para você visualizar melhor, saca só:

Assim na vertical vamos ter três forças: para cima a componente vertical da normal e para baixo a força peso e a componente vertical da força de atrito. Essas forças estão em equilíbrio, pois não há movimento do carro na vertical.

Na horizontal temos duas forças, e elas apontam para o mesmo lado: as componentes horizontais da força normal e da força de atrito. Elas compõem o movimento do carro e são iguais à força centrípeta, pois o carro está em movimento circular nesse momento, tranquilo?

Tranquilo até aqui? Agora vou colocar isso tudo em um sistema de coordenadas e vamos equacionar essas forças, ok?

Para as duas situações, vamos poder utilizar o mesmo sistema de coordenadas, só vamos prestar um pouco de atenção nos sinais, mas isso eu volto a lembrar você mais tarde =)

Passo 2

  1. Antes de achar a velocidade, precisamos achar a aceleração! Vamos usar essa fórmula aqui:
  2. a = v 2 R

    A aceleração é radial (por se tratar de um movimento curvilíneo) e aponta para o centro da trajetória que, nesse caso, aponta para a direita. Para achar a aceleração vamos precisar separar as componentes!

    A força normal n → tem componentes, vertical e horizontal:

    n y = n c o s β

    n x = n s e n β

    A força de atrito f a t → também tem duas componentes, vertical e horizontal:

    f a t y = f a t s e n β

    f a t x = f a t c o s β

    A última força a ser considerada é o peso,

    p = m g

    Fazendo os balanços das forças. Na direção vertical:

    n c o s β - f a t s e n β - m g = 0

    Lembrando que f a t = μ n , temos:

    n c o s β - n ( μ s e n β ) = m g

    n = m g c o s β - μ s e n β

    Na horizontal:

    n s e n β + μ n c o s β = m a

    n s e n β + μ c o s β = m a

    E juntando as duas relações teremos:

    m g c o s β - μ s e n β s e n β + μ c o s β = m a

    Agora vamos substituir os valores!

    Passo 3

    Como o ângulo β = 25 ° foi dado e o coeficiente de atrito é μ = 0,3 , ficou tranquilo determinar a aceleração:

    a = g s e n 25 + μ c o s 25 c o s 25 - μ s e n 25

    a = 9.8 s e n 25 + 0,3 c o s 25 c o s 25 - 0,3 s e n 25 = 8,73 m / s 2

    E agora podemos voltar lá para o passo anterior e resgatar a relação da aceleração e da velocidade:

    a = v 2 R

    A aceleração é 8,73 m / s 2 e o raio foi dado no enunciado e vale 50 m , agora é só substituir:

    v = a R = 8,73 ⋅ 50 = 21 m / s

    Passo 4

  3. Agora o diagrama de corpo livre dessa situação é igual ao da letra a ) , com a exceção que as componentes de f a t têm direções opostas! E aqui que temos que ter atenção nos sinais! As equações de força ficam as mesmas, a não ser pela mudança no sinal dos termos que contém μ . Assim, resgatando a expressão para a aceleração lá do passo anterior e fazendo a mudança de sinais teremos o seguinte:

a = g s e n 25 - μ c o s 25 c o s 25 + μ s e n 25 = 9,8 s e n 25 - 0,3 c o s 25 c o s 25 + 0,3 s e n 25 = 1,43 m / s 2

E a velocidade mínima:

v = a R = 1,43 ⋅ 50 = 8,5 m / s

Prontinho!

Resposta

a )   21 m / s

b )   8,5 m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ao projetar brinquedos para parques de diversão que fazem movimentos circulares, os engenheiros mecânicos devem levar em conta o fato de que pequenas variações de certos parâmetros podem alterar signi
A Fig. 6-53 mostra um pêndulo cônico, no qual um peso (pequeno objeto na extremidade inferior da corda) se move em uma circunferência horizontal com velocidade constante. (A corda descreve um cone qua
Na Fig. 6-57, um carro (sem sustentação negativa), dirigido por um dublê, passa pelo alto de um morro cuja seção transversal pode ser aproximada por uma circunferência de raio R=250m . Qual é a maior
Um carro com 10,7k N de peso, viajando a 13,4m / s sem sustentação negativa, tenta fazer uma curva não compensada com um raio de 61,0m . (a) Qual é o módulo da força de atrito entre os pneus e a estra
Um menino com uma funda coloca uma pedra ( 0 , 250 k g ) na bolsa ( 0,010k g ) da funda e faz girar a pedra e a bolsa em uma circunferência vertical de raio 0,650m . A corda entre a bolsa e a mão do m