Enunciado

Uma pequena rocha move-se na água, e a força exercida sobre ela pela água é dada pela Equação ( 5.7 ). A velocidade escalar terminal da rocha é medida como sendo 2,0   m / s . A rocha é projetada de baixo para cima a uma velocidade escalar inicial de 6,0   m / s . Despreze a força de empuxo sobre a rocha.

a) Na ausência de resistência do fluido, que altura a rocha atingirá e quanto tempo ela levará para atingir a altura máxima?

b) Incluindo-se os efeitos da resistência do fluido, quais são as respostas à questão no item ( a ) ?

Passo 1

Na ausência de resistência, a aceleração é a da gravidade e a altura máxima será atingida quando a rocha tiver velocidade final igual a zero. Vamos usar a equação da mecânica já conhecida:

v 2 = v 0 2 + 2 a d

Para calcular a altura máxima. Quando v = 0 ,   d = h m á x :

0 = 6 2 + 2 ⋅ - 9,8 ⋅ h m á x

h m á x = 36 2.9,8 = 1,84 m

E o tempo pode ser dado pela equação horária da velocidade:

v = v 0 + a t

t = v - v 0 g = 0 - 6 - 9,8 = 0,61 s

Passo 2

Agora o problema nos pede para adicionar o efeito do empuxo na rocha. Partindo da segunda lei adicionando o empuxo e integrando sobre o tempo vamos ter a seguinte expressão:

∫ 6 0 d v v - v t = - k m ∫ 0 t d t

Se você não lembra dessa expressão, dá uma espiadela no livro texto =D

ln ⁡ v - v t 6 0 = - k m t

Mas sabendo da relação m k = v t g podemos determinar o tempo:

ln ⁡ - 2 - 6 - 2 = - g v t t

- 1,386 = - 9,8 2 t

t = 0,28 s

E para determinar a posição, vamos olhar a equação 5.10 também do livro texto:

v t = v t 1 - e - k m t

E podemos relacionar com a derivada da posição em relação ao tempo:

d x d t = v t 1 - e - k m t

E integrando dos dois lados em relação ao tempo teremos:

x t = ∫ 0 t v t 1 - e - k m t d t = v t t + v t m k e - k m t - 1

E aplicando nos valores do problema podemos determinar a posição, saca só:

x 0,283 = 2 . ( 0,283 ) + 2 . m k e - k m 0,283 - 1

E sabemos que   m k = v t g = 0,204 , agora sim podemos achar a posição:

x 0,283 = 0,26 m

Resposta

a )   h m á x = 1,84 m ,   t = 0,61 s

b )   x 0,283 = 0,26 m ,   t = 0,28 s

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