Enunciado

O período de uma estrela variável pulsante pode ser estimado supondo que a estrela está executando pulsações longitudinais radiais no modo fundamental de uma onda estacionária, ou seja, que o raio da estrela varia periodicamente com o tempo, com um antinó do deslocamento na superfície da estrela. (a) Nesse modelo, o centro da estrela é um nó ou um antinó do deslocamento? (b) Por anologia com um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada, mostre que o período de pulsação é dado por T = 4 R / v , onde R é o raio de equilíbrio da estrela e v é a velocidade média do som no interior da estrela. (c) As estrelas anãs brancas típicas são feitas de uma substência com uma módulo de elasticidade volumétrico de 1,33 × 10 22   P a e uma massa específica de 10 10   k g / m 3 e têm um raio igual a 9,0 × 10 - 3 vezes o raio solar. Qual o período aproximado de pulsação de uma anã branca?

Passo 1

(a) Quando lidamos com ondas longitudinais, é importante pensar que os antinós de deslocamento da onda estão associados a pontos em que a matéria está sendo carregada (empurrada com a onda), e os nós estão associados a pontos estacionários.

Se houvesse um antinó no centro da estrela, com sua simetria radial, então toda a massa naquela região estaria se espalhando em todas as direções a partir do centro, o que não é possível (a massa se “esgostaria” rapidamente).

Portanto, deve haver um nó de deslocamento no centro da estrela.

Passo 2

(b) O enunciado menciona que as pulsações ocorrem no modo fundamental.

Em uma corda, uma onda em modo fundamental contém meio comprimento de onda no comprimento da corda.

Analogamente, na estrela, a onda em modo fundamental contém meio comprimento de onda no diâmetro da estrela:

Podemos escrever isso da seguinte forma:

2 R = 1 2 λ

λ = 4 R

Lembrando da reção v = λ f entre a frequência e o comprimento de onda, ficamos com:

v f = 4 R

1 f = 4 R v

E o inverso da frequência é justamente o período T :

T = 4 R v

E essa é a fórmula que queríamos demosntrar.

Passo 3

(c) Vamos olhar de novo para a fórmula do período que acabamos de demonstrar:

T = 4 R v

E podemos reescrever a velocidade em termos do módulo de elasticidade volumétrico e da massa específica da estrela:

v = B / ρ

T = 4 R B ρ

E o raio é 9.10 - 3 vezes o raio do Sol, então:

T = 4 9.10 - 3 6,96.10 8   1,0   .   10 10   1,33   .   10 22

T = 22   s

Resposta

(a) Deve haver um nó no centro da estrela.

(b) Demonstração.

(c) T = 22   s .

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