Enunciado

Uma pistola de sinalização atira uma bala luminosa com velocidade inicial (velocidade na saída do cano) igual a 125 m / s e a 55 ° acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. Calcule a altura máxima da bala luminosa e sua distância desde o ponto de disparo até o ponto de aterrissagem, caso seja disparada a) no nível das planícies de uma região como Brasília e b) de uma região plana da Lua, onde g = 1,6   m / s 2 .

Passo 1

Fala ai, pessoal! Tudo bom?

Nessa questão temos uma bala luminosa sendo disparada para o alto, mas não só isso, ela tem uma angulação de 55 ° . Ou seja, teremos um movimento obliquo. Ele pede a altura e o alcance máximo. Vamos achar fórmulinhas para essas duas grandezas!

Temos que decompor a velocidade inicial em dois vetores:

1. Sendo um vetor horizontal, e m   x : v x , que é responsável pelo deslocamento horizontal em movimento retilíneo uniforme, MRU;

Para decompor a velocidade no eixo horizontal, a gente multiplica seu módulo por cos ⁡ 55 ° ,   já que ela faz o ângulo de 55 ° com a horizontal

v 0 x = v 0 cos ⁡ 55 °

2. E outro vertical, e m   y : v y , que é responsável pelo deslocamento vertical em movimento retilíneo uniformemente variado, MRUV). É a partir dela que a gente acha a altura máxima.

E a velocidade inicial na vertical fica

v 0 y = v 0   s e n   55 °

No ponto mais alto da trajetória temos que: v y = 0 , e podemos calcular o tempo que o projétil leva para chegar a altura máxima pelas equações do MRUV. Considerando y + para cima, temos que

v y = v 0 y - g t

t = v 0 y g

t = v 0   s e n   55 ° g

Veja só!

Passo 2

Para achar a altura máxima, a gente pode usar

h = v 0 y t - g t 2 2

Substuindo nosso tempo para ele chegar na altura máxima e nosso valor da velocidade

h = v 0   s e n   55 ° v 0   s e n   55 ° g - g 2 v 0   s e n   55 ° g 2

Arrumando:

h = v 0 2 sen 2 ⁡ 55 °   g - v 0 2 sen 2 ⁡ 55 °   2 g

h = v 0 2 sen 2 ⁡ 55 °   2 g

Então, podemos calcular a altura da bala luminosa, considerando que a gente está na superfície da Terra e a gravidade é g = 9,8   m / s 2

D a d o s :   v 0 = 120 m / s sen ⁡ 55 ° = 0,819 cos ⁡ 55 ° = 0,574

h = ( 120 ) 2 ⋅ ( 0,819 ) 2 2 ⋅ 9,8 = 492,8 m

tranquilo até aqui?

Passo 3

E vamos pensar que o tempo que a bala leva para chegar de novo no chão é o dobro do tempo que ela leva para chegar a altura máxima e vale

t = 2 v 0   s e n   55 ° g

Aí a gente pode jogar esse tempo na equação do movimento horizontal que é um MUV, onde R é o nosso deslocamento horizontal

R = v 0 x t

Substituindo os nossos dados:

R = v 0   c o s   55 ° × 2 v 0   s e n   55 ° g

R = 2   v 0 2 cos ⁡ 55 ° s e n   55 ° g

Substituindo,

R = 2   ( 120 ) 2 ⋅ 0,819 0,574 9,8 = 1381,5 m

Bacana, não é?

Passo 4

Agora na lua, temos g = 1,6 m / s 2

D a d o s :   v 0 = 120 m / s sen ⁡ 55 ° = 0,819 cos ⁡ 55 ° = 0,574

h = ( 120 ) 2 ⋅ ( 0,819 ) 2 2 ⋅ 1,6 = 3018   m

E,

R = 2   ( 120 ) 2 ⋅ 0,819 0,574 1.6 = 8462   m

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

  1. h = 492,8 m e R = 1381,5 m
  2. h L u a = 3018   m e R L u a = 8462   m
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