Enunciado

Uma placa circular homogêna de raio R e massa M é suspensa por um fio de módulo de torção K de duas maneiras diferentes: (a) Pelo centro C da placa, ficando ela num plano horizontal; (b) Por um ponto O da periferia, com a placa vertical. Calcule os períodos τ a e τ b das pesquenas oscilações de torção, respectivamente nos casos (a) e (b).

Passo 1

Vamos começar montando a EDO para o caso mais geral, independente da forma como o fio está preso na placa.

Quando o fio sofre uma torção por um ângulo θ , o torque restaurador gerado é:

τ = - K θ

Agora vamos lembrar da fórmula que dá a aceleração angular θ ¨ em função do torque resultante:

∑ τ = I θ ¨

Nesse caso, o único torque agindo é o restaurador, então:

- K θ = I θ ¨

θ ¨ + K I θ = 0

Essa é a equação de um oscilador harmônico, com a seguinte frequência angular:

ω = K I

A única diferença entre os casos (a) e (b) é o momento de inércia I .

Passo 2

(a) No primeiro caso, temos que calcular o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco, passando pelo seu centro:

I = ∫ r 2   d m

Vamos considerar vários anéis de massa d m e largura d r , como o pintado de vermelho na figura:

Se a densidade superficial do disco é:

σ = M A = M π R 2

Então a massa d m do disco é:

d m = 2 π r d r σ

Substituindo isso na integral:

I a = 2 π M π R 2 ∫ r 3   d r

Agora é só integrar de r = 0 até r = R :

I a = 2 M R 2 ∫ 0 R r 3   d r

I a = 2 M R 2 R 4 4 = M R 2 2

Então nesse caso a frequência angular é:

ω a = 2 K M R 2

E o período é:

T a = 2 π ω

T a = 2 π 2 K M R 2 = π R 2 M K

Passo 3

Agora temos que a fazer a conta em relação a um eixo paralelo ao plano do disco, também passando pelo seu centro:

Aqui vamos tentar aproveitar o resultado do passo anterior. O raciocínio é um pouco complicado, então vamos por partes:

Tínhamos a seguinte expressão:

I = ∫ r 2   d m

Que pode ser reescrita da seguinte forma:

d I = r 2 d m

Como estávamos no plano x y , o raio r 2 podia ser escrito em função de coordenadas cartesianas:

d I a = x 2 + y 2   d m

d I a = x 2 d m + y 2 d m

d I a = d I x + d I y

Nesse momento, x e y eram os eixos paralelos ao plano do disco. Por simetria, podemos afirmar que os dois são iguais, então:

d I x = d I y = d I P a r a l e l o

Isso quer dizer que:

d I a = 2 d I p a r a l e l o

Integrando:

I a = 2 I p a r a l e l o

I a = M R 2 2 = 2 I p a r a l e l o

Então:

I p a r a l e l o = M R 2 4

Beleza, achamos uma fórmula para o momento de inércia de um disco em relação a um eixo paralelo ao seu plano (passando pelo centro).

Passo 4

Bom, no caso da letra (b), estamos calculando justamente isso: o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao plano do disco.

Então temos:

I b = M R 2 4

E então a frequência angular é:

ω b = 4 K M R 2

E o período é:

T b = 2 π ω

T b = 2 π 4 K M R 2 = π R M K

Resposta

(a) O período de oscilação é T a = π R 2 M K .

(b) O período de oscilação é T b = π R M K .

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