Enunciado

Um densímetro flutuando em equilíbrio na agua tem um volume V 0 submerso; a área da secção transversal da porção cilíndrica é A . Empurrando-o verticalmente para baixo, o desímetro entra em pequenas oscilações na direção vertical. Calcule a frequência angular de oscilação.

Passo 1

Para encontrar a frequência das oscilações nós precisamos montar uma EDO que descreve essa situação. Vamos começar com um desenho:

Agora vamos usar a segunda lei de Newton. A força resultante sobre o densímetro é:

∑ F = P - E

Então:

m g - E = m z ¨

Passo 2

Precisamos encontrar uma fórmula para o empuxo. Se o volume submerso fosse constante e igual a V 0 , a fórmula seria assim:

E = ρ V 0 g

Mas o volume não é constante! Para pequenas oscilações, podemos calcular essa variação usando a área transversal A daquele trecho cilíndrico e a profundidade z :

E = ρ V 0 + A z g

Ou seja, quando z aumenta, o volume submerso e o empuxo também aumentam, e vice-versa.

Passo 3

Agora vamos substituir isso na equação lá de cima:

m g - E = m z ¨

m g - ρ V 0 + A z g = m z ¨

Reorganizando um pouco:

m z ¨ + ρ A g z = m g - ρ V 0 g

z ¨ + ρ A g m z = g 1 - ρ V 0 m

O termo do lado direito é constante (vamos chamar de C )! Então temos a equação de um oscilador harmônico:

z ¨ + ω 2 z = C

E a frequência das oscilações é:

ω 2 = ρ A g m

Passo 4

Não podemos deixar a resposta em termos de ρ e m , já que eles não foram dados no enunciado.

Inicialmente, o densímetro estava em equilíbrio, com um volume V 0 submerso. Nesse instante o empuxo estava em equilíbrio com a força peso, então:

E = P

ρ g V 0 = m g

ρ m = 1 V 0

Substituindo isso na nossa resposta anterior:

ω = A g V 0

Resposta

A frequência angular das oscilações é ω = A g V 0 .

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