Enunciado

A energia total de um sistema conservativo na vizinhança de um equilíbrio estável é da forma E = a q ˙ 2 + ω 2 q 2 , onde q (deslocamento, ângulo, ) é o desvio do equilíbrio e a e ω são constantes. Mostre que o sistema oscila com frequência angular ω .

Passo 1

O enunciado deu uma fórmula para a energia total do sistema:

E = a q ˙ 2 + ω 2 q 2

Além disso, disse que o sistema é conservativo, ou seja, a energia total se mantém constante. O que significa isso matematicamente?

d d t E = E ˙ = 0

Exatamente, quer dizer que a derivada da energia em relação ao tempo é zero.

Passo 2

Vamos derivar a expressão que foi dada:

d d t E = d d t a q ˙ 2 + ω 2 q 2

Primeiro nós vamos tirar as constantes, e separar a derivada da soma em duas partes:

d d t E = a d d t q ˙ 2 + ω 2 d d t q 2 = 0

Agora vamos olhar essas derivadas separadamente, já que precisamos usar a regra da cadeia.

No primeiro caso:

d d t q ˙ 2 = d d q ˙   q ˙ 2 d q ˙ d t = 2 q ˙ q ¨

E no segundo:

d d t q 2 = d d q q 2 d q d t = 2 q q ˙

Agora é só substituir:

a d d t q ˙ 2 + ω 2 d d t q 2 = 0

a 2 q ˙ q ¨ + ω 2 2 q q ˙ = 0

Dividindo os dois lados por 2 a q ˙ :

q ¨ + ω 2 q = 0

Chegamos na equação de um oscilador harmônico com frequência angular ω !

Resposta

Demonstração.

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