Enunciado

Um plano inclinado de ângulo = 20,0° tem uma mola de constante elástica k = 500 N/m presa firmemente na parte inferior, de maneira que a mola fica paralela à superfície, como mostrado previamente na Figura P6.61. Um bloco de massa m = 2,50 kg é colocado sobre o plano a uma distância d = 0,300 m da mola. Dessa posição, o bloco é projetado para baixo na direção da mola com velocidade escalar v = 0,750 m/s. Por qual distância a mola é comprimida quando o bloco momentaneamente entra em repouso?

Passo 1

Questão tranquila, chuchus! Dá pra gente resolver pela conservação da energia do sistema.

A situação inicial que a gente tem é o bloquinho com uma certa altura – logo, com uma certa energia potencial – e com uma velocidade de 0,750   m / s – logo, com uma determinada energia cinética.

Bora começar determinando qual a altura que o bloco tá nesse começo, que daí a gente determina a energia potencial. Pra isso, a gente pode partir de sen ⁡ θ , uma vez que a gente tem a “hipotenusa”, que vale a distância percorrida, de 0,300   m .

Nisso, a gente tem:

sen ⁡ 20,0 ° ≅ 0,342 = h 0,300

h = 0,342 ∙ 0,300 ≅ 0,103   m

Beleza? Com isso a gente já tem os dados pra determinar a energia potencial U do bloco, que vale:

U = m ∙ g ∙ h

Considerando g = 10   m / s 2 , a gente tem:

∴ U = 2,50 ∙ 10 ∙ 0,103 = 2,575   J

Legal! Agora, pra energia cinética K a gente vai ter:

K = m ∙ v 2 2

Aplicando os nossos dados, temos:

K = 2,50 ∙ 0,750 2 2

∴ K = 0,703   J

Com isso, a energia mecânica, que é o somatório dessas energias, nessa situação vale

E = U + K = 2,575 + 0,703 = 3,278   J

Passo 2

Essa energia vai se conservar até a situação de compressão total da mola, no que a gente quer descobrir exatamente qual o valor dessa compressão, beleza?

Essa energia total da situação inicial se converte totalmente em energia elástica no momento que o bloco comprime totalmente a mola e fica momentaneamente em repouso, ok?

Pra energia elástica adquirida pela mola, então, a gente pode escrever que:

k ∙ ∆ x 2 2 = 3,278

Onde ∆ x é a variação no comprimento da mola – ou seja, o quanto ela foi comprimida ou esticada – e k é sua constante elástica.

Só a gente aplicar o valor de k do enunciado e vamos poder descobrir ∆ x , bora? A gente vai ter:

500 ∙ ∆ x 2 2 = 3,278  

25 0 ∙ ∆ x 2 = 3,278  

Isolando ∆ x a gente tem:

∆ x 2 = 3,278 250

∴ ∆ x = 3,278 250 ≅ 0,114   m

Resposta

∆ x ≅ 0,114   m

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