Enunciado

Um plano inclinado de ângulo tem uma mola de constante elástica k presa firmemente na parte inferior de maneira que a mola fica paralela à superfície. Um bloco de massa m é colocado no plano a uma distância d da mola. Dessa posição, o bloco é projetado para baixo na direção da mola com velocidade escalar v, como mostrado na Figura P6.61. Por qual distância a mola é comprimida quando o bloco momentaneamente entra em repouso?

Passo 1

Essa questão a gente faz toda baseada na 61, mas em função das letras mesmo, ok?

A situação inicial que a gente tem é o bloquinho com uma certa altura – logo, com uma certa energia potencial – e com uma velocidade v – logo, com uma determinada energia cinética.

Determinando qual a altura que o bloco tá nesse começo, a gente determina a energia potencial. Pra isso, a gente pode partir de sen ⁡ θ , uma vez que a gente tem a “hipotenusa”, que vale a distância percorrida, de d .

Nisso, a gente tem:

sen ⁡ θ ≅ h d

h = d ∙ sen ⁡ θ

Beleza? Com isso a gente determina a energia potencial U do bloco, que vale:

U = m ∙ g ∙ h

∴ U = m ∙ g ∙ d ∙ sen ⁡ θ   J

Legal! Agora, pra energia cinética K a gente vai ter:

∴ K = m ∙ v 2 2   J

Com isso, a energia mecânica, que é o somatório dessas energias, nessa situação vale

E = m ∙ g ∙ d ∙ sen ⁡ θ + m ∙ v 2 2   J

Passo 2

Essa energia vai se conservar até a situação de compressão total da mola, no que a gente quer descobrir exatamente qual o valor dessa compressão, beleza?

Essa energia total da situação inicial se converte totalmente em energia elástica no momento que o bloco comprime totalmente a mola e fica momentaneamente em repouso, ok?

Pra energia elástica adquirida pela mola, então, a gente pode escrever que:

k ∙ ∆ x 2 2 = m ∙ g ∙ d ∙ sen ⁡ θ + m ∙ v 2 2

Onde ∆ x é a variação no comprimento da mola – ou seja, o quanto ela foi comprimida ou esticada – e k é sua constante elástica.

A gente vai ter então:

k ∙ ∆ x 2 2 = m ∙ g ∙ d ∙ sen ⁡ θ + m ∙ v 2 2  

Multiplicando tudo por 2 agora:

k ∙ ∆ x 2 = 2 ∙ m ∙ g ∙ d ∙ sen ⁡ θ + m ∙ v 2

Isolando ∆ x a gente tem:

∆ x 2 = 2 ∙ m ∙ g ∙ d ∙ sen ⁡ θ + m ∙ v 2 k

Com isso, por fim:

∴ ∆ x = 2 ∙ m ∙ g ∙ d ∙ sen ⁡ θ + m ∙ v 2 k

Resposta

∴ ∆ x = 2 ∙ m ∙ g ∙ d ∙ sen ⁡ θ + m ∙ v 2 k

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