Enunciado

39. A FIGURA P7.39 mostra um bloco de massa m em repouso sobre uma rampa com 20 ° de inclinação. Os coeficientes de atrito do bloco com a superfície são μ e = 0,80 e μ c = 0,50 . Ele está ligado a outro bloco, de 2,0   k g , suspenso por meio de uma corda sem massa que passa por uma polia também desprovida de massa e livre de atrito.

a . Qual é o mínimo valor de m para o qual o primeiro bloco ainda se mantém parado, sem deslizar?

b . Se esta massa mínima for cutucada ainda que ligeiramente, ela passará a subir a rampa. Que aceleração ela terá?

Passo 1

Então pessoal a base que precisamos para resolver esse problema é a segunda e a terceira lei de Newton, mas para sabermos como usá-las bem, vamos montar um diagrama de corpo livre para cada bloco do nosso sistema, temos o seguinte:

Vamos nos referir ao bloco da esquerda como bloco 1 e o da direita como bloco 2 .

Agora vamos analisar a nossa situação junto com o diagrama para ver se temos forças iguais presentes.

Como a corda não tem massa e não é deformada temos que T 1 = T 2 .

Tanto para o item ( a ) quanto para o item ( b ) vamos analisar as forças de cada bloco usando a segunda lei de Newton e depois juntar as informações que obtemos.

Para o item ( a ) teremos que os blocos estarão em repouso logo a força resultante é zero para os dois blocos e teremos um coeficiente de atrito estático para o bloco 1.

Para o item ( b ) teremos os blocos em movimento e ambos com a mesma aceleração a , já que eles estão presos e corda não deforma e teremos um coeficiente de atrito cinético para o bloco 1 .

A massa do bloco 1 para o item ( b ) vai ser a mesma que encontramos em ( a ) .

Passo 2

Vamos começar com o desenvolvimento para o item ( a ) .

Vamos analisar o bloco 1 na direção y , temos:

n - m g cos ⁡ 20 ° = 0

⇒ n = m g cos ⁡ 20 °

Agora vamos analisar na direção x para o mesmo bloco, temos:

T 1 - f - m g sen ⁡ 20 ° = 0

Usando a expressão para força de atrito, temos:

T 1 - μ e n - m g sen ⁡ 20 ° = 0

Substituindo com a expressão que encontramos para normal n , temos:

T 1 - μ e m g cos ⁡ 20 ° - m g sen ⁡ 20 ° = 0

⇒ T 1 = μ e m g cos ⁡ 20 ° + m g sen ⁡ 20 °

Passo 3

Agora vamos analisar o bloco 2 , nesse bloco só tem motivo de analisar a direção y , já que na x não temos nenhum tipo de interação. Temos o seguinte:

T 2 - M g = 0

⇒ T 2 = M g

Agora como dissemos no passo 1 temos T 1 = T 2 , assim temos que:

μ e m g cos ⁡ 20 ° + m g sen ⁡ 20 ° = M g

Isolando m , temos o seguinte:

m μ e cos ⁡ 20 ° + sen ⁡ 20 ° g = M g

⇒ m = M g μ e cos ⁡ 20 ° + sen ⁡ 20 ° g

⇒ m = M μ e cos ⁡ 20 ° + sen ⁡ 20 °

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

m = 2 0,8 cos ⁡ 20 ° + sen ⁡ 20 °

= 2 1,09

Então temos que:

m = 1,83   k g

Passo 4

Agora vamos para o desenvolvimento do item ( b ) , vamos começar analisando o bloco 1 .

Agora nesse caso vamos só analisar na direção x já que na direção y vamos obter amesma coisa que encontramos no desenvolvimento de ( a ) .

Temos o seguinte:

T 1 - f - m g sen ⁡ 20 ° = m a

⇒ T 1 - μ c n - m g sen ⁡ 20 ° = m a

Agora usando o que já sabemos de n , temos:

T 1 - μ c m g cos ⁡ 20 ° - m g sen ⁡ 20 ° = m a

⇒ T 1 = m a + μ c m g cos ⁡ 20 ° + m g sen ⁡ 20 °

Agora vamos analisar o bloco 2 na direção y , temos o seguinte:

T 2 - M g = - M a

T 2 = M g - M a

Usando o fato de que T 1 = T 2 , temos:

m a + μ c m g cos ⁡ 20 ° + m g sen ⁡ 20 ° = M g - M a

Vamos isolar a então. Temos:

m a + M a = M g - μ c m g cos ⁡ 20 ° - m g sen ⁡ 20 °

⇒ m + M a = M g - μ c m g cos ⁡ 20 ° - m g sen ⁡ 20 °

⇒ a = M g - μ c m g cos ⁡ 20 ° - m g sen ⁡ 20 ° m + M

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

a = 2 9,8 - 0,5 1,83 9,8 cos ⁡ 20 ° - ( 1,83 ) ( 9,8 ) sen ⁡ 20 ° 1,83 + 2

= 19,6 - 8,43 - 6,13 3,83

Então temos que:

a = 1,32   m / s 2

Resposta

( a )

m = 1,83   k g

( b )

a = 1,32   m / s 2

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