Enunciado

Uma porta homogênea de 18 k g , com 2,0 m de altura e 0,80 m de largura, está presa a duas dobradiças situadas a 20 c m do topo e a 20 c m da base. Se cada dobradiça suporta metade do peso da porta, determine a magnitude e a orientação das componentes horizontais das forças exercidas pelas duas dobradiças sobre a porta.

Passo 1

Então, galerinha do bem, pra fazer essas questões de momento de corpo extenso a gente tem que achar o centro de massa do objeto. Como a porta é homogênea, o centro de massa dela vai ser bem no meio, ou seja, a 40 c m na horizontal e a 1.0 m de altura.

Outra coisa muito importante é fazer o diagrama de corpo livre. Para isso, precisamos entender as forças atuando no corpo extenso.

Temos a força peso (em vermelho) atuando no CM da porta. E temos as forças de reação nas dobradiças. Vamos considerar que as dimensões das dobradiças são desprezíveis em relação às da porta. Nelas a gente tem as reações na vertical e as reações na horizontal.

Vamos arbitrar um sentido para as forças horizontais. Se na nossa conta elas ficarem com magnitude negativa é porque o sentido certo é o oposto ao que a gente considerou.

O que o enunciado quer é saber o sentido e magnetude das reações horizontais. A ideia aqui é a gente perceber que a porta está paradinha, então podemos usar as equações de equilíbrio

∑ τ = 0

∑ F x = 0

∑ F y = 0

Vamos lá!

Passo 2

Como a gente não sabe as forças de reação verticais (e nem quer saber), é uma boa a gente usar a equação do torque resultante nas dobradiças da porta. Por que?

Porque F H v e F H v ' tem a suas linhas de ação passando pelas duas dobradiças. Então elas não geram torque em relação a esses pontos. Assim não precisamos usa-las nas equações do torque nas dobradiças.

Vamos usar então

∑ τ = 0

Em relação à dobradiça de baixo, as únicas forças que geram torque são F H h e P , isso porque F H h ' está aplicada nessa dobradiça, ou seja, nesse ponto, então ela não gera torque.

Considerando o sentido anti-horário como positivo, temos

∑ τ = 0

F H h × 1.6 - P × 0.40 = 0

Isso quer dizer que a força F H h   gera torque no sentido anti-horário, e sua linha de ação está distante 1,6   m da dobradiça de baixo. E que P gera torque no sentido horário, e sua linha de ação dista 0,4   m da dobradiça de baixo. Substituindo a expressão de P :

F H h × 1.6 - m g × 0.40 = 0

Isolando F H h e substituindo nossos dados

F H h = 18 × 9.81 × 0.40 1.6

F H h = 44 N

Percebe que a magnitude de F H h ficou positiva. Isso quer dizer que F H h tem mesmo o sentido que a gente escolheu no diagrama. Ela aponta para a esquerda.

Passo 3

Como a porta está em equilíbrio, a força resultante na horizontal é nula.

∑ F x = 0

Montando essa equação respeitando os sentidos das forças do diagrama, escolhendo a direita como sentido positivo:

F H h ' - F H h = 0

F H h ' = F H h

Substituindo o que achamos no passo anterior

F H h ' = 44 N

Mais uma vez o valor deu positivo, então nossa força está no sentido adotado no diagrama. Ela está para a direita.

Resposta

F H h ' = 44 N   →

F H h = 44 N   ( ← )

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