Enunciado

A posição de uma partícula de massa m =   0,80   k g   como função do tempo é dada por r → = x i ^ + y j ^   =   R   s e n ω t i ^   +   R   c o s ω t j ^ onde R = 4,0 m e ω = 2 π   s - 1 . (a) Mostre que a trajetória desta partícula é um círculo de raio R , com seu centro na origem do plano x y . (b) Determine o vetor velocidade. Mostre que v x v y = - y x . (c) Calcule o vetor aceleração e mostre que ele é orientado para a origem e tem magnitude   v 2 / R . (d) Encontre a magnitude e a orientação da força resultante aplicada sobre a partícula.

Passo 1

O caminho da partícula é um círculo de raio r constante. Para nós mostrarmos isso, podemos calcular esse valor a partir das componentes do raio e determinar a velocidade e aceleração da partícula derivando. A direção da magnitude da força que atua sobre a partícula pode ser determinada a partir da direção de sua aceleração.

Passo 2

Item (a)

Expressando a magnitude de r →   em termos de suas componentes:

r = r x 2 + r y 2

Como r x = R s e n ω t e r y = R c o s ω t , então:

r = R s e n ω t 2 + R c o s ω t 2 = R 2 s e n 2 ω t + cos 2 ⁡ ω t = R

Este resultado mostra que o caminho da partícula é um círculo de raio R centrado na origem.

Passo 3

Item (b)

Diferenciando r → em relação ao tempo para obter v → :

v → = d r → d t = R ω c o s ω t i ^ + - R ω s e n ω t j ^ = 8,0 π c o s 2 π t m s i ^ - 8,0 π s e n 2 π t m s j ^

Expressando a relação v x v y :

v x v y = 8,0 π c o s 2 π t 8,0 π s e n 2 π t = - c o t ω t

Expressando a relação - y x :

- y x = - R c o s ω t R s e n ω t = - c o t ω t

Então:

v x v y = - y x

Passo 4

Item (c)

Diferenciando v → em relação ao tempo para obter a → :

a → = d v → d t = - 16 π 2 m s 2 s e n ω t i ^ + - 16 π 2 m s 2 c o s ω t j ^ = - 4,0 π 2 s - 2 4,0 s e n ω t i ^ + 4,0 c o s ω t j ^ = - 4,0 π 2 s - 2 r →

Porque a →   está na direção oposta de r → , que está direcionado para o centro de

o círculo no qual a partícula está viajando.

Encontrando v 2 R :

a = v 2 R = 8,0 π m s 2 4,0 m = 16 π 2   m / s 2

Passo 5

Item (d)

Aplicando ∑ F → = m a → na partícula:

F = m a = 0,80   k g 16 π 2 m s 2 = 13 π 2   N

Porque F →   está na mesma direção de a → , que está direcionado para o centro de

o círculo no qual a partícula está viajando.

Resposta

b   v → = 8,0 π c o s 2 π t m s i ^ - 8,0 π s e n 2 π t m s j ^

c   a = 8,0 π m s 2 4,0 m = 16 π 2   m / s 2

d   F = 0,80   k g 16 π 2 m s 2 = 13 π 2   N

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