Enunciado

A posição r → de uma partícula que se move em um plano x y é dada por r → = 2,0 t 3 -   5,0 t i → + 6,0   -   7,0 t 4 j → , com r em metros e   t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: (a) r , (b) v e (c) a   para   t = 2 s . (d) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente á trajetória da partícula em t = 2 s ?

Passo 1

Belezera galerinha, pra gente responder a letra (a) precisamos substituir o tempo pedido direto na equação dada no enunciado, aí chegamos nessa resposta. Então para t = 2 :

r → 2 = 2 × 2 3 - 5 × 2 i → + 6 - 7 × 2 4 j →

Logo:

r → 2 = 6 i → - 106 j →   m

Passo 2

Iradoso, agora na próxima alternativa (b) é solicitado o valor da velocidade no tempo pedido. Temos a função da posição, então devemos lembrar que a derivada da posição resulta na velocidade. Sendo assim:

d r d t = v →

d r d t = 6 t 2 - 5 i → + - 28 t 3 j →  

Portanto, em t = 2   s , teremos uma velocidade dada como:

v → 2 = 6 × 2 2 - 5 i → + - 28 × 2 3 j →

v → 2 = 19 i → - 224 j →   m/s

Passo 3

Para resolver (c) usamos um método um pouco parecido com o do passo anterior. Se derivarmos a função velocidade, chegamos na função aceleração, desse modo vamos derivar essa função mais uma vez e substituir a variável de tempo por 2 . Saca só:

d v d t = a →

d v d t = 12 t i → + - 84 t 2 j →

Logo, em t = 2   s :

a → 2 = 12 × 2 i → + - 84 × 2 2 j →

a → 2 = 24 i → - 336 j →   m/ s 2

Passo 4

Em (d) vamos usar a função inversa da tangente para chegarmos no ângulo solicitado na questão. Como no exercício pede o ângulo com a reta tangente da função posição, devemos lembrar que essa inclinação m é dada como:

m = tan ⁡ θ

E essa tal inclinação da reta, é igual a derivada da função, e como a derivada da posição é a velocidade, temos que a inclinação m é dada pela razão entre as coordenadas da velocidade, de forma que dada a velocidade:

v → 2 = 19 i → - 224 j →   m/s

Temos que o ângulo será:

tan ⁡ θ = - 224 19

Tal que:

θ = tan - 1 ⁡ - 224 19

θ =   - 85 °

Resposta

  1. r → 2 = 6 i - 106 j m (b) v → 2 = 19 i → - 224 j → m / s   (c) a → 2 = 24 i → - 336 j → m / s 2

(d) θ   =   - 85 °

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