Enunciado

A primeira colisão conhecida entre um fragmento espacial e um satélite artificial em operação ocorreu em 1996: a uma altitude de 700   k m , um satélite espião francês com um ano de uso foi atingido por um pedaço de um foguete Ariane. Um estabilizador do satélite foi danificado e o satélite passou a girar sem controle. Imediatamente antes da colisão e em quilômetros por hora, qual era a velocidade do pedaço de foguete em relação ao satélite se ambos estavam em órbita circular e (a) a colisão foi frontal e (b) as trajetórias eram mutuamente perpendiculares?

Passo 1

Vamos ver se entendemos a situação. O satélite e o fragmento estão orbitando a terra com o mesmo raio de R de órbita.

No item (a), queremos saber qual era a velocidade do fragmento em relação ao satélite quando a colisão é frontal. Vamos lembrar da equação que descreve uma órbita circular:

v = G . M R

Como podemos consultar a massa da Terra, vamos usar essa fórmula para encontrar a velocidade para o raio de órbita dado (é a mesma para o satélite e o fragmento!).

Passo 2

Preste atenção para não cair na pegadinha clássica de questões de gravitação: o raio da órbita é a distância até o CENTRO DA TERRA. Ou seja, precisamos somar o raio da Terra à altitude dada no enunciado:

R = R T + d = 6370   k m +   700   k m = 7070   k m = 7070   .   10 3   m

Substituindo na fórmula:

v = G . M R =   6,67   .   10 - 11 .     5,98   ,   10 24 7070   .   10 3 = 5,4166   .   10 7 = 7,36   .   10 3   m / s

Mas o enunciado pede a resposta em quilômetros por hora (é só multiplicar por 3,6!)

v = 7,36   .   10 3 . 3,6 = 2,65   .   10 4   k m / h

Mas ainda não acabou, queremos a velocidade relativa!

Passo 3

Se o satélite e o fragmento, que tem velocidades iguais, sofrerão uma colisão frontal, a velocidade relativa entre eles é simplesmente o dobro de v .

Se isso não for intuitivo, lembre-se da fórmula para a velocidade relativa (onde pensamos na velocidade como vetores):

v A / B → = v A → - v B →

Como as duas velocidades são iguais, e estão na mesma direção e sentidos opostos, uma delas terá sinal negativo e a outra positiva.

Logo:

v r e l = 2   . 2,65   .   10 4 = 5,30   .   10 4   k m / h

Passo 4

(b) Agora queremos encontrar esse valor para uma colisão “perpendicular”. Para entender isso, precisamos pensar em três dimensões:

Como o raio das órbitas permanece igual, a única coisa que muda é o cálculo das velocidades relativas. Obviamente, no momento da colisão, os vetores das velocidades serão perpendiculares.

Fazendo a soma vetorial, vemos que o módulo da velocidade relativa será igual ao comprimento da hipotenusa:

Como calculamos no item anterior v = 2,65   .   10 4   k m / h , aplicando o teorema de Pitágoras:

v r e l =   2,65   .   10 4 2 + 2,65   .   10 4 2 = 37476   k m / h  

Ajustando para três algarismos significativos (seguindo o padrão do enunciado):

v r e l = 3,75   .   10 4   k m / h

Resposta

(a) v r e l = 2,65   .   10 4   k m / h

(b) v r e l = 3,75   .   10 4   k m / h  

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