Enunciado

Três estrelas iguais de massa M formam um triângulo equilátero que gira em torno do centro do triângulo enquanto as estrelas se movem ao longo de uma mesma circunferência. O lado do triângulo possui um comprimento L. Qual é a velocidade das estrelas?

Passo 1

A situação é bastante curiosa, então vamos ilustrar a situação:

Agora vamos pensar em um par de estrelas desse triângulo. Por exemplo, a força que a estrela 1 faz sobre a estrela 2 (em módulo):

F 12 = G M 1 M 2 L 2 = - G M 2 L 2

Passo 2

Essa força é um vetor que fica sobre o lado do triângulo que une 1 e 2 . Mas a estrela 3 exerce uma força de mesmo módulo sobre a estrela 2 .

Agora use a regra do paralelogramo pra somar vetorialmente as duas forças.

Você vai ver que o resultado vai ser um vetor que passa pela bissetriz do ângulo, ou seja, pela reta que divide o ângulo ao meio.

E usando um pouco de trigonometria, vemos que o módulo desse vetor vai ser:

F 12 + F 32 = 2 G M 2 L c o s ⁡ ( 30 ° )

Porque os ângulos internos do triângulo equilátero medem 60 ° , e a bissetriz divide o ângulo ao meio 60 ° 2 = 30 ° .

Passo 3

Como as estrelas são mantidas em órbita circular pela força gravitacional uma das outras, podemos igualar essa força resultante a uma força centrípeta:

2 G M 2 L 2 cos ⁡ 30 ° = M v 2 R

Relacionar L e R não é muito difícil.

Sabemos que quando um triângulo equilátero de lado L   está inscrito em uma circunferência de raio R :

L = 3 R

Substituindo isso na fórmula de cima:

2 G M 2 L 2 cos ⁡ 30 ° = 3 M v 2 L

2 G M 2 L 2 3 2   = 3 M v 2 L

G M L   = v 2

E o resultado é:

v =   G M L

Como a questão não deu nenhum valor, a resposta é só essa fórmula mesmo.

Resposta

v = G M L

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