Enunciado

No Problema 56, você mostrou que a quantidade x2 + y2 + z2 - (ct) 2 tem o mesmo valor (0) em S e S ′. Uma quantidade que tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais é chamada de invariante de Lorentz. A partir dos resultados do Problema 55, a quantidade px2 + py2 + pz2 - E2 / c2 também deve ser um invariante de Lorentz. Mostre que essa quantidade tem o valor –m2c2 nos referenciais S e S ′.

Passo 1

Fala aee, beleza??

Usaremos a Equação 39-27 para mostrar que esta quantidade tem o valor - m c 2 em ambos os referenciais S e S ' .

Nessa Equação 39-27, temos a relação entre a energia total E , momento p e energia de repouso m c 2 :

E 2 = p 2 c 2 + m c 2 2

Ou ainda:

p 2 c 2 - E 2 = - m c 2 2

Dividindo os dois lados por c 2 :

p 2 - E 2 c 2 = - m c 2

Passo 2

Beleza. Além disso, podemos relacionar p com suas componentes:

p 2 = p x 2 + p y 2 + p z 2

Substituindo isso na equação do passo anterior:

p x 2 + p y 2 + p z 2 - E 2 c 2 = - m 2 c 2

Como m é a massa da partícula em seu repouso, ela deve ser constante. Como c também é constante, todo o termo da esquerda:

p x 2 + p y 2 + p z 2 - E 2 c 2

Deve ser constante, também, ou seja:

p 2 - E 2 c 2

Deve ser relativisticamente invariante.

Além disso, no Problema 55, vimos que os componentes de p e a quantidade E / c se transformam como os componentes de r e a quantidade c t .

No Problema 56, demonstramos que r 2 - c t 2 é um invariante relativístico.

Consequentemente, p 2 - E c 2 também deve ser relativisticamente invariante. Beleza?? Temos esse modo de pensar também!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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