Enunciado

Em um processo industrial, o volume de 25,0 mols de um gás ideal monoatômico é reduzido, a uma taxa uniforme, de 0,616   m 3 para 0,308   m 3 em 2,00   h , enquanto a temperatura é aumentada, a uma taxa uniforme, de 27,0 ° C para 450 ° C . Durante o processo, o gás passa por estados de equilíbrio termodinâmico. Qual é (a) o trabalho cumulativo realizado sobre o gás, (b) a energia cumulativa absorvida pelo gás como calor e (c) o calor específico molar para o processo? (Sugestão: para resolver a integral envolvida no cálculo, use a relação

∫ a + b x A + B x d x = b x B + a B - b A B 2 ln ⁡ A + B x

uma integral indefinida.) Suponha que o processo seja substituído por um processo de duas etapas que leva ao mesmo estado final. Na etapa 1 , o volume do gás é reduzido à temperatura constante; na etapa 2 , a temperatura é aumentada a volume constante. Para esse processo, qual é (d) o trabalho cumulativo realizado sobre o gás, (e) a energia cumulativa absorvida pelo gás como calor e (f) o calor específico molar para o processo?

Passo 1

(a) Vamos com calma, é uma questão um pouco incomum. Nosso primeiro objetivo é encontrar o trabalho:

W = ∫ p   d V

Como a gente não tem a pressão, vamos usar a lei dos gases ideais:

p V = n R T

p = n R T V

E a integral do trabalho fica:

W = ∫ n R T V   d V

Ainda não dá pra resolver... Vamos usar o fato de que o volume é reduzido de 0,616   m 3 para 0,308   m 3 em 2 horas (7200 segundos), a uma taxa constante. Podemos usar essa taxa pra montar uma fórmula do volume em função do tempo!

V = 0,616 + 0,308 - 0,616 7200 t = 0,616 - 4,27.10 - 5 t

E a mesma coisa pode ser feita com a temperatura:

T = 300 + 450 - 27 7200 = 300 + 0,05875 t

Nessa última forma, só convertemos a temperatura inicial para Kelvin.

Passo 2

Vamos tentar organizar essas fórmulas na integral:

W = ∫ n R T V   d V

Retirando as constantes:

W = n R ∫ 300 + 0,05875 t 0,616 - 4,27.10 - 5 t   d V

O problema agora é trocar esse d V por um d t , que é a variável que nós resolvemos usar. Se a gente derivar a fórmula que a achamos para o volume:

d V d t = - 4,27.10 - 5

E agora é só multiplicar a integral por d t / d t :

W = n R ∫ 300 + 0,05875 t 0,616 - 4,27.10 - 5 t   d t d V d t

W = - 4,27.10 - 5 n R ∫ 300 + 0,05875 t 0,616 - 4,27.10 - 5 t   d t

E agora a gente pode usar a “fórmula” de integração que o enunciado deu! Vamos só calcular o produto daquelas constantes antes, e chamar tudo de A :

A = - 4,27.10 - 5 n R = - 8,87.10 - 3

E o tempo vai variar de 0 até 7200   segundos:

W = A ∫ 0 7200 300 + 0,05875 t 0,616 - 4,27.10 - 5 t d t

Passo 3

Seguindo a fórmula do enunciado:

W = A ∫ 0 7200 300 + 0,05875 t 0,616 - 4,27.10 - 5 t d t

W A = 0,05875 t - 4,27.10 - 5 + 300 - 4,27.10 - 5 - 0,05875 ( 0,616 ) 4,27.10 - 5 2 ln ⁡ 0,616 - 4,27.10 - 5 t

Vamos substituir os limites de integração agora: 7200 e 0 .

W A = - 9906323 - 26874496,1 - 1,1758389 + 26874496,1 ( - 0,484508 )

W A = - 990632 3 + 18579169,58

W A = 8672846,576

W = 8672846,576 - A = - 76928,14

E então:

W ≅ - 7,70   .   10 4   J

Esse é o trabalho realizado pelo gás, como a questão perguntava o trabalho sobre o gás, a resposta é:

W = 7,70.10 4   J

Um cálculo bem complicado, mas conseguimos! Mas essa é só a letra (a).

Passo 4

(b) Qual a energia absorvida em forma de calor ao longo desse processo? Vamos pensar na primeira lei da termodinâmica:

Δ E i n t = Q - W

Como já temos o trabalho W , só falta calcular a variação da energia interna.

Mais uma vez vamos precisar de uma integral... Vamos pensar em um pequeno aumento da energia interna:

Δ E i n t = n C V Δ T

d E i n t = n C V d T

E como o gás é monoatômico:

d E i n t = 3 2 n R d T

Vamos integrar os dois lados:

∫ d E i n t = Δ E i n t = ∫ 3 2 n R d T

Agora vamos dividir e multiplicar tudo por d t :

Δ E i n t = ∫ 3 2 n R d T d t d t

E integrar quando t vai de 0 até 7200 .

Δ E i n t = ∫ 0 7200 3 2 n R d T d t d t

E esse d T / d t é um valor que nós já tínhamos calculado!

Δ E i n t = 3 2 n R ∫ 0 7200 0,05875 d t

Δ E i n t = 3 2 n R ( 0,05875 ) ( 7200 )

Δ E i n t = 3 2 25 8,31 0,05875 7200 = 131817,375   J

E agora é só voltar na primeira lei da termodinâmica:

Δ E i n t = Q - W

Q = Δ E i n t + W

Q = 131817,375 - 7,70   .   10 4

Q = 54817,375   J

Então:

Q ≅ 5,48   .   10 4   J

Passo 5

(c) O calor específico molar segue essa fórmula aqui:

C = Q n Δ T

C = 5,48   .   10 4 ( 25 ) ( 423 ) ≅ 5,18 J m o l . K  

Passo 6

(d) Como no trecho que acontece a volume constante o trabalho é nulo, só precisamos calcular o trabalho durante a transformação isotérmica.

Por sorte, nesses casos a fórmula do trabalho é bastante simples (só precisamos converter a temperatura para Kelvin!):

W = n R T . ln ⁡ V f V i = 25 8,31 300 . ln ⁡ 0,308 0,616

W = - 43200   J

W ≅ - 4,32   .   10 4   J

Esse é o trabalho realizado pelo gás, o trabalho realizado sobre ele é:

W = 4,32   .   10 4   J

Passo 7

(e) A energia absorvida pelo gás, na forma de calor, em um processo como esse, pode ser calcula em duas etapas.

Na primeira, quando a temperatura é constante, a variação da energia interna é nula. A primeira lei da termodinâmica diz que, nesse caso:

Δ E i n t = 0 = Q - W

Q = W

Q = - 4,32.10 4   J

Na segunda, temos um aquecimento a volume constante, então podemos usar essa fórmula aqui:

Q = n C V Δ T

E como o gás é monoatômico:

Q = 25 3 2 R 423

Q = 13,22   .   10 4   J

Então o trabalho total é:

Q T = 13,22.10 4 - 4,32.10 4 = 8,90   .   10 4   J

Passo 8

(f) O calor específico molar desse processo pode ser calculado da mesma forma que fizemos antes:

C = Q n Δ T

C = 8,90   .   10 4 ( 25 ) ( 423 ) = 8,41 J m o l . K

Resposta

(a) W = 7,70   .   10 4   J

(b) Q = 5,48   .   10 4   J

(c) C = 5,18 J m o l . K

(d) W = 4,32   .   10 4   J

(e) Q = 8,90   .   10 4   J

(f) C = 8,41 J m o l . K

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