Enunciado

O Sol, que está a 2,2   .   10 20   m do centro da Via Láctea, completa uma revolução em torno do centro a cada 2,5   .   10 8 anos. Supondo que todas as estrelas da galáxia possuem uma massa igual à massa do Sol, 2,0   .   10 30   k g , que as estrelas estão distribuídas uniformemente em uma esfera em torno do centro da galáxia e que o Sol se encontra na borda dessa esfera, estime o número de estrelas da galáxia.

Passo 1

Podemos pensar que o Sol orbita o centro da Via Láctea, da mesma forma que a Terra orbita o Sol. Vamos pensar na força gravitacional que age sobre o Sol:

F g = G .   M G . m s o l R 2

A massa M G da galáxia é o número n de estrelas vezes a massa de cada estrela.

M G = n   .   M

Mas, segundo o enunciado, podemos supor que todas as estrelas têm a mesma massa que o Sol, então:

F g = G .   n . m s o l 2 R 2

Como o Sol se mantém em órbita circular, pela fórmula da força centrípeta temos:

m s o l . v 2 R = G .   n . m s o l 2 R 2

Passo 2

Queremos obter n , então vamos arrumar a equação

m s o l . v 2 R = G .   n . m s o l 2 R 2

Cortando m s o l e R :

v 2 = G .   n   .   m s o l R

Isolando n :

n = R . v 2 G . m s o l

Falta apenas o valor de v para fechar a equação. Como a órbita é circular, basta nos lembrarmos da Física I:

v = Δ s Δ t = 2 π R T

Só o valor do período de revolução T não está pronto para usar, pois está em anos, e precisa estar em segundos:

T = 2,5   .   10 8   a n o s = 2,5   .   10 8   .   365 . 24 . 60 . 60 ≈ 7,88   .   10 15   s  

Passo 3

Voltando agora à nossa equação:

n = R . 2 π R T 2 G . m s o l = 4 . π 2 . R 3 G . m s o l . T 2

Substituindo os números:

n =   4 . π 2 . R 3 G . m s o l . T 2 =   4   .   3,14 2 .   2,2   .   10 20 3 6,67   .   10 - 11 . 2,0   .   10 30 .   7,88   .   10 15 2 ≅ 5,1   .   10 10

Pronto!

Resposta

n = 5,1   .   10 10

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