Enunciado

Uma barra delgada de comprimento L possui massa por unidade de comprimento variando a partir da extremidade esquerda, onde x = 0 , de acordo com d m / d x = γ x , onde γ é constante com unidades de k g / m 2 . a) Calcule a massa total da barra em termos de g e de L. b) Use a Equação (9.20) para calcular o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua extremidade esquerda. Use a relação encontrada na parte (a) para obter a expressão de I em termos de M e de L. Como seu resultado se compara com o obtido para uma barra delgada uniforme? Explique essa comparação. c) Repita o procedimento da parte (b) para um eixo passando pela extremidade direita da barra. Como seu resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)? Explique esse resultado.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos um enunciado gigantesco, mas basicamente o que vamos fazer é aplicar a equação do momento de inercia:

I = ∫ r 2 d m

Que, neste caso, d m = γ d x

Bora lá!

Passo 2

  1. Então, para calcular a massa, fazemos:
  2. M = ∫ d m = ∫ 0 L γ x d x

    M = γ x 2 2 0 L

    M = γ L 2 2

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  3. E então, calculando o momento de inercia, temos que:
  4. I = ∫ 0 L x 2 γ x d x = γ x 4 4 0 L

    I = γ L 4 4

    Se M = γ L 2 2 → γ = 2 M L 2

    I = M 2 L 2

    É maior que o momento de inércia de uma haste uniforme da mesma massa e comprimento, uma vez que a densidade de massa é maior mais afastada do eixo do que mais próxima do eixo.

    show?

    Passo 4

  5. Bom, agora, para um eixo passando pela extremidade direita da barra:

I = ∫ 0 L L - x 2 γ x d x

I = γ ∫ 0 L L 2 x - 2 L X 2 + x 3 d x

I = γ L 2 x 2 2 - 2 L x 3 3 + x 4 4 0 L

I = γ L 4 12

Substituindo γ = 2 M L 2 ...

I = M 6 L 2

Este é um terço do resultado da parte (b), refletindo o fato de que mais da massa está concentrada na extremidade direita.

Para uma haste uniforme com um eixo em uma extremidade, I = 1 3 M L 2 . O resultado em (b) é maior que isso e o resultado em (a) é menor que isso.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. M = γ L 2 2
  2. I = M 2 L 2
  3. I = M 6 L 2
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