Enunciado

No espaço sideral, a esfera A , com 20 kg de massa, está na origem de um eixo x e a esfera B , com 10 kg de massa, está no mesmo eixo em x = 0,80   m . A esfera B é liberada a partir do repouso enquanto a esfera A é mantida fixa na origem. (a) Qual é a energia potencial gravitacional do sistema das duas esferas no momento em que a esfera B é liberada? (b) Qual é a energia cinética da esfera B após ter se deslocado 0,20   m em direção à esfera A .

Passo 1

(a) Bom, segundo o enunciado, temos duas esferas dispostas da seguinte forma:

Em primeiro lugar, queremos a energia potencial gravitacional do sistema no momento em que a esfera B é liberada. Como estamos no espaço sideral, nosso sistema inclui apenas as duas esferas A e B , então podemos usar a fórmula para a energia potencial gravitacional entre dois corpos:

U = - G M A M B r A B

Sabemos que, no momento em que B   é liberada, a distância entre os corpos é r A B = 0,8   m . Como já conhecemos as massas M A e M B , é só substituir na fórmula para obter:

U = - G M A M B r A B = - 6,67   .   10 - 11   .     20   .     10 0,8 =   - 1334   .   10 - 11 0,8 =   - 1667,5   .   10 - 11 J

Lembrando que G é a constante gravitacional universal: G = 6,67   .   10 - 11   m 3 / s 2 k g .

No enunciado, todos os valores têm ao menos 2 algarismos significativos, então devemos deixar nossa resposta dessa forma:

U = - 1667,5   .   10 - 11   J ≅   - 1,7   .   10 - 8   J

Passo 2

(b) Agora a esfera B se deslocou 0,20   m na direção da esfera A . Queremos então saber a energia cinética da esfera B após esse deslocamento:

Uma dica: se estamos discutindo a energia em um sistema que sofre alguma mudança, provavelmente teremos que aplicar a lei de conservação de energia! E é isso que faremos para resolver essa questão.

Essa lei dá a seguinte igualdade:

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

Onde K é a energia cinética e U é a energia potencial. Queremos obter K f i n a l .

Como a esfera B parte do repouso, temos K i n i c i a l = 0 , e já encontramos U i n i c i a l no item (a):

- 1,7   .   10 - 8   = K f i n a l + U f i n a l

Para podermos encontrar K f i n a l falta apenas achar o U f i n a l .

Pra isso é só fazer a mesma coisa do item (a)! A única coisa que muda é a distância r A B , que agora vale 0,80 - 0,20 m = 0,60   m .

U f i n a l =   - G M A M B r A B = - 6,67   .   10 - 11   .   20   .   10 0,6 = - 1334   .   10 - 11 0,6 = - 2223 , 3 -   .   10 - 11 J

U f i n a l = - 2,22 3 -   .   10 - 8   J  

Substituindo na lei de conservação de energia:

- 1,7   .   10 - 8   J   = K f i n a l + U f i n a l

Resolvendo a equação e ajustando novamente os algarismos significativos:

K f i n a l =   - 1,7   .   10 - 8 - - 2,22 3 -   .   10 - 8   = 0,52 3 -   .   10 - 8 J ≅ 5,2   .   10 - 9   J

Pronto!

Resposta

(a) U =   - 1,7.10 - 8   J

(b) K f i n a l = 5,2   .   10 - 9 J

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