Enunciado

Um próton se deslocando ao longo do eixo + O x com velocidade v A 1 sofre uma colisão elástica fora da linha central com outro próton idêntico que está inicialmente em repouso. Depois desse impacto, o primeiro próton se desloca com velocidade v A 2 no primeiro quadrante, formando um ângulo α com o eixo + O x , e o segundo próton se desloca com velocidade v B 2 no quarto quadrante formando um ângulo β com o eixo + Q x (veja a Figura 8.13). a) Escreva as equações que descrevem a lei da conservação do momento linear para os componentes x e y. b) Eleve ao quadrado as equações obtidas na parte (a) e some membro a membro os resultados. c) Introduza agora o fato de a colisão ser elástica. d) Demonstre que α + β = π 2 . (Você está demonstrando que esse resultado é válido para qualquer colisão elástica fora da linha central entre dois corpos de mesma massa, quando um dos corpos está inicialmente em repouso.)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente a) escrever as equações que descrevem a lei da conservação do momento linear para os componentes x e y . Depois, temos que b) elevar ao quadrado as equações obtidas na parte (a) e somar membro a membro os resultados. Em seguida, vamos c) introduzir o fato de a colisão ser elástica e d) demonstre que α + β = π 2 .

Pelo prncípio da conservação de momento, devemos nos atentar que o momento é conservado considerando a decomposição das coordenas, ou seja, devemos analisar o momento de x separadamente de y .

Vamos lá!

Passo 2

a) Vamos separar em dois momentos nossas contas. Primeiramente em x e posteriormente em y .

Para x temos que de início a partícula azul se desloca para a direita com velocidade v 1 i x enquanto a partícula vermelha repousa sobre a origem do sistema.

Desta forma, podemos escrever a conservação de momento em x como sendo

m 1 v 1 i x = m 1 v 1 f x + m 2 v 2 f x

Pela decomposição das velocidades, temos que

v 1 f x = v i f cos ⁡ α e v 2 f x = v 2 f cos ⁡ β

Da mesma forma para y teremos que inicialmente as duas partículas estão em repouso sobre essa coordenada, ou seja, v 1 i y = v 2 i y = 0 .

Assim, temos que

m 1 v 1 f y + m 2 v 2 f y = 0

Onde v 1 f y = v 1 f sin ⁡ α e   v 2 f y = v 2 f sin ⁡ β .

Passo 3

b) Vamos elevar ao quadrado a primeira equação em x , ficando com:

m 1 v 1 i x 2 = m 1 v 1 f x 2 + ( m 2 v 2 f x ) 2 + 2 m 1 m 2 v 1 f x v 2 f x

m 1 v 1 i x 2 = m 1 v 1 f 2 cos ⁡ α 2 + ( m 2 v 2 f ) 2 cos ⁡ β 2 + 2 m 1 m 2 v 1 f v 2 f cos ⁡ α cos ⁡ β

E para y teremos:

( m 1 v 1 f y ) 2 + ( m 2 v 2 f y ) 2   +   2 m 1 m 2 v 1 f y v 2 f y = 0

( m 1 v 1 f ) 2 sin 2 ⁡ ( α ) + ( m 2 v 2 f ) 2 sin 2 ⁡ ( β ) +   2 m 1 m 2 v 1 f v 2 f sin ⁡ α sin ⁡ β = 0

Somando ambas as equações e usando as seguintes relações trigonométricas

F u n d a m e n t a l → cos 2 ⁡ α + sin 2 ⁡ α = 1

e

cos ⁡ α + β = cos ⁡ α c o s β - sin ⁡ α sin ⁡ β

Ficamos com:

m 1 2 v 1 i 2 = m 1 2 v 1 f 2 + m 2 2 v 2 f 2 + 2 m 1 m 2 v 1 f v 2 f c o s ⁡ ( α + β )

Passo 4

c) O fato da colisão ser elástica diz que toda energia inicial será igual a energia final, ou seja

m 1 2 v 1 i 2 = m 1 2 v 1 f 2 + m 2 2 v 2 f 2

Subtituindo na equações encontrada no item c) temos que:

2 m 1 m 2 v 1 f v 2 f cos ⁡ α + β = 0

d) Implicando que

cos ⁡ α +   β = 0

→ α + β = π 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

α + β = π 2

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