Enunciado

Um próton se move ao longo do eixo x de acordo com a equação x   =   50 t   +   10 t 2 , em que x está em metros e t está em segundos. Calcule (a) a velocidade do próton durante os primeiros 3,0   s do percurso, (b) a velocidade instantânea do próton no instante t = 3,0 s e (c) a aceleração instantânea do próton no instante t   =   3,0   s . (d) Plote o gráfico de x em função de t e mostre como a resposta do item (a) pode ser obtida a partir do gráfico. (e) Indique a resposta do item (b) no gráfico. (f) Plote o gráfico de v em função de t e indique a resposta do item (c).

Passo 1

Para calcularmos a velocidade do próton para um dado tempo, precisaremos derivar a equação do movimento que foi dada no enunciado para obtermos a velocidade instantânea:

v = d x d t = 50   m / s + ( 20   m / s 2 ) t

Na letra (a), o enunciado nos pede para encontrarmos a velocidade de 0 s até 3,0 s, então vamos calcular a diferença das velocidades para esses dois instantes:

v m = x 3 - x ( 0 ) 3   s = x   =   50 m / s ( 3   s )   +   10 m / s 2 ( 3   s ) 2 - 0 3 s = 80   m / s

Passo 2

(b) No instante t = 3,0   s , a velocidade do próton será:

v 3 = 50   m / s + ( 20   m / s 2 ) ( 3,0   s )

v 3 = 110   m / s

Passo 3

(c) A aceleração instantânea do próton será a segunda derivada da equação de movimento, ou a primeira derivada da equação de velocidade:

a = d v d t = 20   m / s 2

Como a equação não depende do tempo, a aceleração instantânea para qualquer tempo t será:

a = 20   m / s 2

E então para t = 3,0   s :

a ( 3 ) = 20   m / s 2

O que responde a letra (c).

Passo 4

(d) e (e) A resposta dos itens (a) e (b) pode ser obtida a partir do seguinte gráfico:

Onde a linha azul representa a resposta do item (a) que é a reta com coeficiente igual ao valor da velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 3,0   s , e a reta roxa a resposta do item (b), que é a reta tangente à curva para t = 3,0 s

Passo 5

(f) A resposta do item (c) no seguinte gráfico:

Será a curva da velocidade, e a aceleração instantânea para t = 3,0   s coincide com a reta de velocidade.

Resposta

( a ) v m = 80 m / s

( b ) v 3 = 110   m / s

( c ) a ( 3 ) = 20   m / s 2

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