Enunciado

A velocidade máxima de velocista é 11,0 m/s. Se o atleta parte do repouso com aceleração constante, ele atinge a velocidade máxima após percorrer uma distância de 12,0 m e mantém essa velocidade no restante de uma prova de 100 m rasos. (a) Qual é o seu tempo para a prova? (b) Para melhorar o seu tempo, o velocista tenta reduzir a distância necessária para atingir a velocidade máxima. Qual deve ser essa distância para que o atleta complete a prova em 10,0 s?

Passo 1

(a) Esse problema consiste em duas situações, a primeira quando o velocista começa a correr com aceleração constante e a segunda quando ele corre com velocidade máxima constante, após ganhar velocidade. Por isso, precisaremos utilizar duas equações diferentes para cada caso e somar os tempos de cada situação. Para a primeira podemos usar a seguinte equação (2-17 do livro):

x - x 0 = 1 2 v - v 0 t 1

Como o velocista não possui velocidade inicial, já que parte do repouso v 0 = 0 , e a posição inicial colocamos como a origem de nosso sistema x 0 = 0 . A nossa equação se torna:

x = 1 2 v t 1

Isolando t 1 :

t 1 = 2 x v

E substituindo valores:

t 1 = 2 12,0   m ( 11,0   m / s ) ≅ 2,2   s

Para a segunda situação, a velocidade é máxima e constante, podemos usar a equação:

x f = x + v t 2

Utilizamos o x do deslocamento anterior, pois após ganhar velocidade, o velocista já correu toda essa primeira parte do trajeto.

Isolando t 2 :

t 2 = x f - x v

Substituindo valores:

t 2 = 100   m - 12,0   m 11,0   m / s = 8,0   s

Passo 2

Para a segunda etapa, a velocidade é máxima e constante, podemos usar a equação:

x f = x + v t 2

Utilizamos o x do deslocamento anterior, pois após ganhar velocidade, o velocista já correu toda essa primeira parte do trajeto.

Isolando t 2 :

t 2 = x f - x v

Substituindo valores:

t 2 = 100   m - 12,0   m 11,0   m / s = 8,0   s

Passo 3

Por fim, somamos os dois tempos das duas etapas:

t 1 + t 2 = 10,2   s

Passo 4

(b) Nesse caso, precisamos que o tempo total seja t = 10,0   s , e não sabemos o quanto o velocista corre antes de parar de ganhar velocidade, ou seja, não sabemos a posição final da primeira etapa ( x = ? ) . Dividindo novamente o problema em duas etapas, a de aceleração e a de velocidade constante, e utilizando as mesmas considerações, a equação para a etapa 1 será:

x = 1 2 v t 1

E a equação para etapa 2:

x f = x + v t 2

Como o tempo total é determinado:

t 1 + t 2 = t

t 2 = t -   t 1

Então a segunda equação se torna:

x f = x + v t -   t 1

Para contornarmos o problema de não sabermos o valor de t 1 , vamos substituir a equação para a primeira etapa na equação da segunda, ficamos com a primeira equação com t 1 isolado é:

t 1 = 2 x v

Substituindo na segunda equação:

x f = x + v t -   2 x v = v t - x

Isolando x:

x = v t - x f

Substituindo os valores:

x = ( 11,0   m / s ) ( 10,0   s ) - 100,0   m

x = 10,0   m

Resposta

( a ) t 1 + t 2 = 10,2   s

b x = 10,0   m

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