Enunciado

Prove que, quando um raio de luz incide sobre um espelho plano que gira em um ângulo θ em torno de um eixo perpendicular ao plano de incidência, o raio refletido gira em um ângulo igual a 2 θ .

Passo 1

θ , e vamos mostrar no desenho os raios incidentes e refletidos, lembrado que θ i = θ r .

Show. Em preto está o espelho, numa posição inicial e depois girado de θ . Em vermelho temos os raios incidentes, e em verde os refletidos. Como queremos informação dos raios refletidos, prolongamos eles e o que queremos provar é que o ϕ = 2 θ . Show?

Ah! E as retas tracejadas azuis são as normais em relação a superficie do espelho.

Vamos lá então!

Passo 2

Vamos tirar algumas relações dos triângulos que aparecem.

Primeiro desse aqui:

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triangulo é 180 ° . Olhando para o triangulo destacado.

2 α + ϕ + 180 - 2 β = 180

ϕ + 2 α - β = 0

Show! Guarda essa relação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para esse triangulo aqui:

Marquei bem os ângulos retos (que vem das normais), pois usamos eles para indicar aqueles ângulos que escrevi ali na figura.

Então, ainda usando a soma dos ângulos internos de um triângulo, temos:

θ + 90 - α + 2 α + 90 - β = 180

θ + α - β = 0

Daí

α - β = - θ

Vamos substituir essa relação lá na equação do passo anterior:

ϕ + 2 α - β = 0

ϕ + 2 - θ = 0

Então:

ϕ = 2 θ

Uhuul!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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