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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Tipler - Vol 2 - 6ª Ed.

Enunciado

Física - Tipler - Vol 2 - 6ª Ed. - 31.1 - 75

Um raio de luz inicia no ponto ( - 2 m ,   2 m ,   0 m ) , incide em um espelho no plano y = 0 em algum ponto ( x ,   0,0 ) e reflete através do ponto ( 2 m ,   6 m ,   0 m ) . (a) Determine o valor de x que torna mínima a distância total percorrida pelo raio. (b) Qual é o ângulo de incidência no plano de reflexão? (c) Qual é o ângulo de reflexão?

Passo 1

Faaaaaaaala meu caro, tudo certinho?

A figura aqui embaixo mostra os dois pontos e a superfície refletora. As coordenadas x   e y estão em metros.

Esse gráfico foi construído pensando nos conjuntos de pontos - 2 m ,   2 m ,   0 m raio que sai em A, passa por ( x , 0,0 ) e atinge B ( 2 m ,   6 m ,   0 m ) . A distância d desses pontos pode ser calculada por d =   x 2 + y 2 + z 2 , mas nesse caso z é nulo (nenhum ponto passa por ele).

Expresse a distância total D   percorrida pela luz:

D = d 1 + d 2

Podemos escrever d 1 e d 2 como:

D =   x + 2 2 + 4 + 2 - x 2 + 36          

Podemos escrever uma expressão para a distância total percorrida pela luz como uma função de x e definir a derivada dessa expressão igual a zero para encontrar o valor de x que minimiza a distância percorrida pela luz.

Diferencie D em relação a x :

d D d x = d d x x + 2 2 + 4 + 2 - x 2 + 36

d D d x = 1 2 x + 2 2 + 4 - 1 2 2 x + 2 + 1 2 2 - x 2 + 36 - 1 2 2 ( 2 - x ) ( - 1 )

Definir esta expressão igual a zero para valores extremos resulta em:

x m i n + 2 x m i n + 2 2 + 4 - 2 - x m i n 2 - x m i n 2 + 36 = 0

Resolva para x m i n para obter:

x m i n = - 1   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Supondo que as coordenadas do ponto em que o raio se origina sejam ( x 1 ,   y 1 ) e as coordenadas do ponto terminal sejam ( x 2 ,   y 2 ) , a tangente do ângulo de incidência é dada por:

tan ⁡ θ i = x - x i y - y i

θ i = tan - 1 ⁡ x - x 1 y - y 1

Onde teremos: x , y = ( - 1   m ,   0 ) :

θ i = tan - 1 ⁡ - 1 m - ( - 2 m ) 0 - 2 m = 26,6 °

Passo 3

(c) Supondo que as coordenadas do ponto em que o raio se origina sejam ( x ,   y ) e as coordenadas do ponto terminal sejam ( x 2 ,   y 2 ) , a tangente do ângulo de reflexão é dada por:

tan ⁡ θ r = x 2 - x y 2 - y

θ r = tan - 1 ⁡ x 2 - x y 2 - y

Onde teremos: x , y = ( - 1   m ,   0 ) :

θ r = tan - 1 ⁡ 2 m - ( - 1 m ) 6 m - 0 = 26,6 °

Resposta

θ i = θ r = 26,6 °  

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