Enunciado

Um radar estacionário indica que um navio está 10 km ao sul dele. Uma hora depois, o mesmo navio está 20 km a sudeste. Se o navio se deslocou com rapidez constante e sempre no mesmo sentido, qual era sua velocidade nesse tempo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Vamos desenhar o que o enunciado falou, colocando o radar na origem do eixo de um sistema de coordenadas e desenhando os dois pontos onde o navio é detectado:

Percebe que a gente colocou também os vetores posições r 1 e r 2 que indicam as posições 1 e 2 do navio. E que quando ele fala sudeste, quer dizer uma orientação a 45 ° de leste indo para sul.

A partir dessa situação, ele pede a velocidade do barco no tempo entre esses dois instantes. Como a rapidez do barco foi constante (o módulo da velocidade foi constante), a gente pode dizer que a velocidade foi igual a velocidade média. Ela tem essa expressão vetorial:

v → m é d = ∆ r → ∆ t

Sendo que Δ t é o tempo decorrido. O enunciado diz que o deslocamento aconteceu em 1 hora. Então

Δ t = 1   h o r a

E Δ r → é o vetor deslocamento do barco, que é dado pela diferença entre o vetor posição da segunda posição menos o vetor do posição da primeira posição:

Δ r → = r → 2 - r → 1

Substituindo esses dois na nossa velocidade:

v → m é d = r → 2 - r → 1 1   h

A ideia é a gente usar essa expressão para achar a velocidade do nosso barquinho. Vamos lá!

Passo 2

Vamos aplicar ao nosso problema:

Precisamos dos vetores r → 1 e r → 2 . Achamos esses carinhas pela nossa figura. Para a posição 1:

r → 1 = - 10   k m j ^

Já que a primeira posição está 10   k m abaixo da origem. E para a posição 2 vamos achar as componentes de r → 2 por trigonometria:

r → 2 = 20   s e n   45 °   k m i ^ + - 20 cos ⁡ 45 °   k m j ^

Usamos seno para o eixo x pois o ângulo de 45 ° está colado nesse eixo. E a componente y é negativa pois estamos na parte negativa de y .

Fazendo a continha:

r → 2 = 14,1   k m i ^ + - 14,1   k m j ^

Passo 3

Agora é calcular:

∆ r → = r → 2 - r → 1

∆ r → = 14,1   k m i ^ + - 14,1   k m j ^ - - 10   k m j ^

∆ r → = 14,1   k m i ^ + - 4,1   k m j ^

Então, temos que a velocidade do barco é

v → = v → m é d = r → 2 - r → 1 1   h

v → = v → m é d = 14,1   k m i ^ + - 4,1   k m j ^ 1   h

v → = v → m é d = 14,1   k m / h i ^ + - 4,1   k m / h j ^

Resposta

v → = 14,1   k m / h i ^ + - 4,1   k m / h j ^

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