Enunciado

A rapidez de um asteroide é 20   k m / s no periélio e 14   k m / s no afélio. (a) Determine a razão entre as distâncias de afélio e de periélio. (b) Na média, este asteroide está mais afastado ou mais próximo do sol do que a Terra? Explique.

Passo 1

(a) A gente quer a razão entre a distância máxima e mínima do asteroide até o sol.

Nesse item vamos fazer uma conservação do momento angular para relacionar as distâncias. Isso porque na trajetória do asteroide o momento angular se conserva. Olha só:

L a = L p

Vamos relembrar a fórmulinha da quantidade de momento angular

L = m v r   s e n   θ

Onde m é a massa do objeto, v é a velocidade, r é a distância entre o objeto e o centro da trajetória (raio orbital), no caso, o sol. E θ é o ângulo entre o vetor velocidade e a distância r .

Quem é θ ? Precisamos lembrar aqui que no afélio e no periélio nossas velocidades são perpendiculares ao raio orbital. Ou seja, o ângulo entre v e r vai ser 90 ° .

Logo, considerando que o asteroide tem massa m , para o afélio temos

L = m v a r a   s e n 90 °

E para o periélio temos

L = m v p r p   s e n 90 °

Repara que m é a mesma porque o asteroide não muda de massa.

Então vai ficar assim a nossa conservação de momento angular

m v a r a s e n ( 90 ° ) = m v p r p s e n ( 90 ° )

Logo,

v a r a = v p r p

Passo 2

Isolando as distancias:

r a r p = v p v a

Repara que era exatamente o que a gente queria, uma razão entre as distâncias do asteroide até o sol. Substitindo os dados do problema

r a r p = 20 k m s 14 k m s = 10 7 ≈ 1,4

Passo 3

(b) Para responder essa, precisamos lembrar da terceira lei de Kepler:

T 2 = C r 3

T é o período do corpo, C é uma constante e r é a média entre r a e r p .

A ideia é quanto maior for r maior é T , ou seja, mas lento é o corpo (já que ele demora mais tempo, T maior, para dar a volta em relação ao sol).

Se o corpo é mais lento, sua velocidade é menor. Ou seja, quando maior r , maior é T e menor é a velocidade do corpo. Então, quanto maior a distância do corpo em relação ao sol, menor é sua velocidade.

Então podemos responder essa pensando: quem é tem maior velocidade? A Terra ou o asteroide?

Passo 4

Qual é a velocidade média da Terra? Cara, no apêndice B, temos que a velocidade orbital média da Terra é

v T = 2,98 × 10 4   m / s = 29,8 × 10 3   m / s = 29,8   k m / s

Já a velocidade máxima do nosso asteroide é a do periélio, que vale 20   m / s .

Quem tem a menor velocidade? O asteroide, certo?

Então é ele que vai estar mais longe do sol, já que seu período T é maior, assim r é maior.

Resposta

  1. r a r p = 1,4
  2. Quanto mais perto um objeto está do sol, menor sua velocidade. Assim, como a velocidade orbital da terra é aproximadamente 30 k m / s e a velocidade da nosso asteroide é no máximo 20   k m / s , concluímos que nosso asteroide está mais afastado do Sol.
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