Enunciado

Para que razão m / M a energia potencial gravitacional do sistema do Problema 1 é a menor possível?

Passo 1

Belezera galerinha, temos a massa M , e retiramos dela uma massa m , tal que teremos duas massas finais dadas como:

m 1 = m ,     m 2 = M - m

Sendo assim, a energia potencial do é dada pela seguinte equação:

U = G m 1 m 2 r

U = G m M - m r

Logo:

U = G r m 2 - M m

E como queremos encontrar o mínimo dessa função, devemos lembrar lá das aulinhas de cálculo, onde o mínimo de uma função é um ponto crítico, que pode ser calculado derivando a função e igualando ela a 0 . Pois então bora lá fazer isso...

Passo 2

Derivando a função em relação a nossa variável m , obtemos que:

d U d m = G r M - 2 m

Igualando isso a 0 , teremos que:

G r M - 2 m = 0

M - 2 m = 0

Tal que:

2 m = M

m M = 1 2

Portanto, a razão que minimiza a energia potencial entre as massas é dada como:

m M = 1 / 2

Resposta

m M = 1 / 2

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