Enunciado

Recentemente tornou-se possível “pesar” moléculas de DNA medindo a influência de sua massa sobre um nano-oscilador. A figura mostra uma haste fina, retangular e nanométrica, escavada em silicone (densidade de 2.300   k g / m 3 ), com uma pequena gota de ouro na extremidade livre. Se puxada para baixo e liberada, sua extremidade vibrará em movimento harmônico simples, balançando para cima e para baixo como um trampolim após um salto. Quando banhada com moléculas de DNA, cujas extremidades tenham sido modificadas para se ligar ao ouro, uma ou mais moléculas podem aderir à gota de ouro. A adição de suas massas causa uma redução muito pequena – porém mensurável – na frequência de oscilação.

Uma haste vibrante de massa M pode ser modelada como um bloco de massa M preso a uma mola. (O fator de surge 1 / 3 surge a partir do momento de inércia de uma barra com eixo em uma das extremidades.) Nem a massa nem a constante elástica podem ser determinadas com muita precisão – talvez somente com dois algarismos significativos –, mas a frequência de oscilação pode ser medida com altíssima precisão contando-se as oscilações. Em um experimento desses, a haste estava inicialmente vibrando a exatamente 12   M H z . A adesão de uma molécula de DNA reduziu a frequência em 50   H z . Qual é a massa do DNA?

Passo 1

Se liga! Aqui temos que observar que, utilizando o momento de inércia, a frequência angular para a haste vibrante pode ser escrita como

ω 1 = k 1 3 M .       ( 1 )

Adicionando uma molécula de DNA de massa m , temos que a frequência angular passa a ser

ω 2 = k 1 3 M + m   .     ( 2 )

Passo 2

O enunciado nos forneceu que, ao inserir a molécula, a frequência reduziu em 50   H z .

Portando, temos que

Δ f = f 1 - f 2 = 50   H z .     ( 3 )

Sabendo que

f = 2 π ω  

  ⟹ Δ ω = 2 π Δ f = 2 π 50   H z .     ( 4 )

Passo 3

Podemos dividir a equação (1) por (2) para achar a relação entre a massa e a frequência.

ω 1 ω 2 = k 1 3 M k 1 3 M + m = f 1 f 2

Usando a expressão (3), temos

f 1 f 1 + Δ f = k 1 3 M k 1 3 M + m

f 1 f 1 + Δ f 2 = 1 3 M + m 1 3 M     ( 5 ) .

Passo 4

Para facilitar as contas levaremos em consideração que

f 1 = 12   M H z

Δ f = 50   H z

⟹ f 1 ≫ Δ f

Assim podemos usar a aproximação

f 1 + Δ f - 2 = f 1 - 2 1 - Δ f f 1 - 2 ≈ f 1 - 2 1 + 2 Δ f f 1

Substituindo na equação (5) e rearranjando, temos

f 1 2 × 1 3   M = 1 3 M + m × f 1 2 1 + 2 Δ f f 1 - 1

Isolando m , temos

m = 1 3 M 1 + 2 Δ f f 1 - 1 = 2 3 M Δ f f 1   .     ( 6 )

Passo 5

Como ele nos forneceu a que a densidade da haste é 2.300   k g / m 3 , o comprimento é 4000   n m , espessura é 1 00   n m e a altura é 400   n m , podemos achar a massa M como

M = 2.300 × 4 × 10 - 6 × 1 × 10 - 7 × 4 × 10 - 7 = 3,68 × 10 - 16   k g

Agora só precisamos substituir os valores na equação (6) para achar o valor da massa da molécula.

m = 2 3 ×   3,68 × 10 - 16 × 50 12 × 10 6 = 1,02 × 10 - 21   k g   .

Resposta

m = 1,02 × 10 - 21   k g   .

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