Enunciado

Um recipiente é preenchido até a borda com 1,4 L de mercúrio a 20ºC. Enquanto a temperatura do recipiente e do mercúrio aumenta até 60 ºC, um total de 7,5 mL de mercúrio transborda do recipiente. Determine o coeficiente de expansão linear do material de que é feito o recipiente.

Passo 1

Oláaa, querido! Vamos entender esse enunciado! A gente tem inicialmente a temperatura de T 0 = 20 ° e um que recipiente está preenchido até a borda com mercúrio. Ou seja, o volume interno do recipiente é igual ao volume de mercúrio:

V 0 ,   H g = V 0 ,     R . = V 0   = 1,4   L

Depois, chegamos à temperatura de T f = 60 ° .

Por causa dessa variação de temperatura sofrida tanto pelo recipiente quanto pelo mercúrio, ambos se expandem. No entanto, o mercúrio se expande mais que o recipiente a ponto de transbordar 7,5 mL.

Como eles tinham inicialmente o mesmo volume, a gente pode escrever que a diferença entre essas duas variações de volume causadas pela temperatura vai ser a quantidade de mercúrio que transborda:

∆ V 0 ,   H g - ∆ V 0 ,   r e c . = 7,5   m L

Se lembram como se calcula a variação volumétrica?

∆ V = V 0 , . β . ∆ T

Sendo que V 0 é o nosso volume inicial do corpo, Δ T é variação de temperatura que é a mesma para os dois corpos e β é o coeficiente volumétrico de expansão térmica.

Mas calma, o enunciado quer que a gente ache o coeficiente linear de expansão térmica do material que forma o recipiente, então ele quer que a gente ache α . O que fazemos então? Tá tudo bem, porque o coeficiente volumétrico se relaciona com o linear assim

β = 3 α

Substituindo isso na nossa expressão:

∆ V = V 0 , . 3 α . ∆ T

A ideia é a gente usar essa expressão e os dados que a gente tirou do enunciado para achar α para o recipiente, tudo bem? Bora lá então!

Passo 2

Vamos partir da relação que a gente escreveu entre as duas variações de volume que achamos pelo enunciado:

∆ V 0 ,   H g - ∆ V 0 ,   r e c . = 7,5   m L

A expressão da variação volumétrica é essa aqui

∆ V = V 0 , . 3 α . ∆ T

Substituindo na expressão do enunciado:

V 0 . 3 α H g . ∆ T - V 0 . 3 α R . ∆ T = 7,5   m L

Sendo que α H g é o coeficiente linear de expansão térmica do mercúrio e α R é o do recipiente.

Como a variação da temperatura é a mesma, já que eles estão em contato. E já que o volume inicial dos dois é o mesmo, podemos reescrever:

( α H g - α R ) 3 V 0 , ∆ T = 7,5   m L

Isolando o coeficiente linear do recipiente, porque queremos achar esse cara:

α R = α H g - 7,5   m L 3 V 0 , ∆ T

Passo 3

Agora vamos às variáveis.

V 0 = 1,4   L = 1400   m L

A variação de temperatura é dada por

∆ T = T f - T o = 60 ° C - 20 ° C = 40 ° C = 40   K

Percebe que variações de temperatura em celsius e kelvin são iguais, por isso a gente já fez essa mudança de unidade. E também porque precisamos usar kelvin na fórmulinha de expansão.

Na Tabela 20-1 temos os coeficientes para cada material. Lá temos o coeficiente volumétrico do mercúrio. Então podemos escrever algo assim:

β H g = 0,18 x 10 - 3   K - 1 = 3 α H g

Então:

α H g = 6   x   10 - 5   K - 1

Passo 4

Substituindo esses dados na nossa expressão:

α R = α H g - 7,5   m L 3 V 0 , ∆ T

α R = 6   x   10 - 5   K - 1 - 7,5   m L 3 ( 1400   m L ) ( 40   K )

α R = 15   x   10 - 6   K - 1

Resposta

α R = 15   x   10 - 6   K - 1

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