Enunciado

Você deve instalar um pequeno elevador de serviço de alimentação em um refeitório universitário. O elevador está conectado por um sistema de polias a um motor, como mostrado na figura abaixo. O motor ergue e abaixa o elevador. A massado elevador é de 35 kg. Em operação, ele se move com uma rapidez e 0,35 m/s para cima, sem acelerar (exceto no breve período inicial, imediatamente após ligado o motor, que podemos desconsiderar). Os motores elétricos têm, tipicamente, uma eficiência de 78 por cento. Se você compra um motor com uma eficiência de 78 por cento, qual deve ser a potência mínima desse motor? Suponha as polias sem atrito.

Passo 1

Olá! Tá bem? Então, temos um elevador que precisa levantar com velocidade constante a massa de m = 35   k g .

Aí ele pergunta para gente a potência que o motor desse elevador precisa ter, considerando que o motor tem 78 % de eficiência.

Olha, podemos pensar em potência como o produto escalar entre o vetor força necessário para levantar a massa e a velocidade que essa massa vai ter. Fica assim:

P = F → ⋅ v →

Só que ele diz que a rapidez do elevador é v = 0,35   m / s . Se a gente considerar que essa é a rapidez com que o elevador sobe, o vetor velocidade fica:

v → = 0,35 j ^

Esse j ^ representa que a velocidade está voltada para cima apenas (sentido positivo de y )

Passo 2

Mas quem vai ser F → ? Cara, percebe que o o esforço que o elevador vai fazer vai ser para levantar a massa? Então a gente tem essa situação:

Para levantar o elevador, F → está para cima. Como a velocidade dessa massa é constante, temos que a y = 0 . Então se a gente aplicar a segunda lei de Newton para esse caso, fica assim:

∑ F y = m a y → ∑ F y = 0

F - F g = 0

F = F g

Como F g = m g :

F = m g

Colocando isso na forma vetorial, já que F está o sentido positivo de y :

F → = m g   j ^

Substituindo os valores:

F → = 35 9,81   j ^

Passo 3

Aí a gente pode calcular o produto escalar para achar a potência necessária para levantar a massa:

P = F → ⋅ v →

P = 35 9,81   j ^ ⋅ 0,35 j ^

Como só temos componentes y em cada vetor, o produto escalar vai ser somente o produto entre esses dois valores mesmo:

P = 35 9,81 0,35

Passo 4

Só que esse é o valor de potência que a gente precisa ter na situação real.

Mas queremos saber a potência que o motor precisa ter para dar essa potência P na situação real.

Já que a eficiência do motor é de 78%, a potência P disponível de fato para levantar a massa vai ser 78 % da potência do motor:

P = 0,78 P m o t o r

Isolamos P m o t o r :

P m o t o r = 1 0,78 P

P m o t o r = 1,282 P

Agora a gente substitui os valores:

P m o t o r = 1,282 35 9,81 0,35

P m o t o r = 15 4   W

P m o t o r ≈ 0 , 15   k W

Resposta

P m o t o r = 0,15   k W

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