Enunciado

No referencial do centro de massa, uma partícula com massa m 1 e quantidade de movimento p 1 sofre uma colisão frontal elástica com uma segunda partícula de massa m 2 e quantidade de movimento p 2 = - p 1 . Após a colisão, a quantidade de movimento da primeira partícula é p ' 1 . Escreva a energia cinética inicial total em termos de m 1 , m 2 e p 1 , e a energia cinética final total em termos de m 1 , m 2 e p 1 ' , e mostre que p 1 ' = ± p 1 . Se p 1 ' = - p 1 , a partícula é meramente refletida pela colisão e emerge com a rapidez que tinha inicialmente. Qual é a situação para a solução p 1 ' = + p 1 ?

Passo 1

A energia cinética total do sistema de partículas é a soma da energia cinética do centro de massa e a energia cinética relativa ao centro de massa. Vamos usar aquela relação que já usamos em algumas questões anteriores que relaciona a energia ao momento: K = p 2 2 m .

Passo 2

A energia cinética total no início vai ser:

K i = K r e l + K c m

A energia cinética relativa ao centro de massa é dada por:

K r e l = p 1 2 2 m 1 + p 2 2 2 m 2 = p 1 2 2 m 1 + - p 1 2 2 m 2 = p 1 2 m 1 + m 2 2 2 m 1 m 2

Colisão frontal: p c m = p 1 - p 2 = 2 p 1 .

K c m = 2 p 1 2 2 m 1 + m 2 = 2 p 1 2 m 1 + m 2

Somando as duas:

K i = p 1 2 m 1 + m 2 2 2 m 1 m 2 + 2 p 1 2 m 1 + m 2

K i = p 1 2 2 m 1 2 + 6 m 1 m 2 + m 2 2 m 1 2 m 2 + m 1 m 2 2

Passo 3

Para a energia cinética final, a conta seria exatamente a mesma, trocando só o p 1 das contas por p 1 ' . Então, como K f = K i ,

p 1 2 2 m 1 2 + 6 m 1 m 2 + m 2 2 m 1 2 m 2 + m 1 m 2 2 = p ' 1 2 2 m 1 2 + 6 m 1 m 2 + m 2 2 m 1 2 m 2 + m 1 m 2 2  

p 1 2 = p 1 ' 2

p 1 = ± p 1 '  

Passo 4

Se p ' 1 = p 1 , as partículas não iam colidir!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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